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Para introduzir apropriadamente o tensor de momento-energia métrico
é preciso que trabalhemos com coordenadas curvilíneas. Seja
a densidade lagrangeana. A ação é
dada
por
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(1) |
O tensor de momento-energia métrico é obtido[1]
explorando-se o fato de que deve ser invariante sob
transformações infinitesimais de coordenadas
, com
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(2) |
Os campos e a métrica respondem a essa transformação da
maneira seguinte[1]:
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(3) |
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(4) |
Isto induz na ação a variação
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(5) |
onde a segunda integral é essencial, uma vez que
uma transformação geral de coordenadas não se anula
necessariamente na fronteira de um domínio de integração.
Para uma bela dedução desse termo, veja ([5]). Trata-se
da sua equação (170). Como veremos, este termo de
superfície é a chave de toda a prova. Mais explicitamente,
As integrações parciais usuais levam a
Quando satisfaz as equações de movimento, a primeira
integral se anula. Definindo[1] o tensor de momento-energia
métrico por
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(8) |
tem-se
Suponhamos, por um momento, que não dependa das
derivadas de . Isto quer dizer que os coeficientes sda
conexão
não estrão presentes, explicitamente
ou através dos vários tensores de curvatura. (Naturalmente isto
é sempre verdade no espaço-tempo de Minkowski descrito por
coordenadas ``cartesianas''). Inserindo em (10) os valores
de e , temos
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(10) |
isto é,
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(11) |
onde reconhecemos
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(12) |
como o tensor de momento-energia canônico. Ora, como é mostrado em
detalhe na referência ([1]),
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(13) |
Levando (13) à (11),
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(14) |
Como deve se anular para arbitrário, obtém-se
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(15) |
e
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(16) |
ou, finalmente,
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(17) |
mostrando a equvalência dos dois tensores.1
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Henrique Fleming
2002-04-24