Questões de equivalência

Para introduzir apropriadamente o tensor de momento-energia métrico é preciso que trabalhemos com coordenadas curvilíneas. Seja $\mathcal{L}(g^{ij},\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l},\phi,\partial_i \phi)$ a densidade lagrangeana. A ação é dada por

$$S=\int d^4x\sqrt{(-g)}\mathcal{L}$$ (1)

O tensor de momento-energia métrico é obtido[1] explorando-se o fato de que $S$ deve ser invariante sob transformações infinitesimais de coordenadas $x^{i}\rightarrow x'^{i}$, com

$$x'^{i}=x^i + \xi^{i}(x)$$ (2)

Os campos e a métrica respondem a essa transformação da maneira seguinte[1]:

$$\delta\phi\equiv \phi'(x)-\phi(x)=-\xi^{i}(x)\partial_{i}\phi$$ (3)

$$\delta g^{ik}(x)=\xi^{i;k}+\xi^{k;i}$$ (4)

Isto induz na ação $S$ a variação

$$\delta S=\int d^4x\delta\left(\sqrt{(-g)}\mathcal{L}\right)+\int d\sigma^l\sqrt{(-g)}\mathcal{L}$$ (5)

onde a segunda integral é essencial, uma vez que uma transformação geral de coordenadas não se anula necessariamente na fronteira de um domínio de integração. Para uma bela dedução desse termo, veja ([5]). Trata-se da sua equação (170). Como veremos, este termo de superfície é a chave de toda a prova. Mais explicitamente,

$$\delta S = \int d^4x \sqrt{(-g)} \left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial... ...{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l \phi)}\partial_{l}\delta\phi\right\}$$ (6)

$$+ \int d^4x\left[\frac{\partial\left(\sqrt{(-g)}\mathcal{L}\right)}... ... g^{ij}}{\partial x^l}\right)}\frac{\partial}{\partial x^l}\delta g^{ij}\right]$$

$$+ \int d\sigma_l\xi^l\sqrt{(-g)}\mathcal{L}$$

As integrações parciais usuais levam a

$$\delta S = \int d^4x \sqrt{(-g)} \left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial... ...\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l \phi)}\right]\right\}\delta\phi$$ (7)

$$+ \int d^4 x\left[\frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right... ...sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right)}{\partial(\partial_l g^{ij})}\right]\delta g^{ij}$$

$$+ \int d\sigma_l\left[\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L} }{\partial(\partial_l \phi)}\right]\delta \phi$$

$$+ \int d\sigma_l \frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right)... ...\partial_l g^{ij})}\delta g^{ij} + \int d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g}\; \mathcal{L}$$

Quando $\phi(x)$ satisfaz as equações de movimento, a primeira integral se anula. Definindo[1] o tensor de momento-energia métrico $T_{ij}$ por

$$\frac{1}{2}T_{ij}\sqrt{-g}\equiv \frac{\partial\left(\sqrt{... ...\sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right)}{\partial(\partial_l g^{ij})}$$ (8)

tem-se

$$\delta S = \frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)} T_{ij}\delta g^{ij} + \int d\sigma_l \sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_l \phi)}\delta \phi$$ (9)

$$+ \int d\sigma_l \frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right)... ...\partial_l g^{ij})}\delta g^{ij} + \int d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g}\; \mathcal{L}$$

Suponhamos, por um momento, que $\mathcal{L}$ não dependa das derivadas de $g^{ij}$. Isto quer dizer que os coeficientes sda conexão $\Gamma^{i}_{jk}$ não estrão presentes, explicitamente ou através dos vários tensores de curvatura. (Naturalmente isto é sempre verdade no espaço-tempo de Minkowski descrito por coordenadas ``cartesianas''). Inserindo em (10) os valores de $\delta \phi$ e $\delta g^{ij}$, temos

$$\delta S=\frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)} T_{ij}\left(\xi... ...ial_l\phi)}\partial_m\phi+\delta^{l}_{m} \mathcal{L}\right\}$$ (10)

isto é,

$$\delta S = \frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)} T_{ij}\left(\... ...xi^{j;i}\right)- \int d\sigma_l\sqrt{-g}\xi^m\Theta^{l}_{m}$$ (11)

onde reconhecemos

$$\Theta^{l}_{m}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l \phi)}\partial_m \phi - \delta^{l}_{m} \mathcal{L}$$ (12)

como o tensor de momento-energia canônico. Ora, como é mostrado em detalhe na referência ([1]),

$$\frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)} T_{ij}\left(\xi^{i;j}+\x... ...i;k} \xi^{i}+\int d\sigma_l\sqrt{-g}\;T^{l}_{m}\xi^{m} \; .$$ (13)

Levando (13) à (11),

$$\delta S = - \int d^4x \sqrt{(-g)} T^{k}_{i;k}\xi^{i} + \in... ..._l\sqrt{-g} \xi^{m}\left(T^{l}_{m}-\Theta^{l}_{m}\right) \; .$$ (14)

Como $\delta S$ deve se anular para $\xi^{i}$ arbitrário, obtém-se

$$T^{i}_{i;k}=0$$ (15)

e

$$\int d\sigma_l \sqrt{-g}\left(T^{l}_{m}-\Theta^{l}_{m}\right)\xi^m=0$$ (16)

ou, finalmente,

$$T^{l}_{m} = \Theta^{l}_{m}$$ (17)

mostrando a equvalência dos dois tensores.¹