next up previous
Next: Eletrodinâmica Up: O Tensor de Momento-Energia Previous: Introdução

Questões de equivalência

Para introduzir apropriadamente o tensor de momento-energia métrico é preciso que trabalhemos com coordenadas curvilíneas. Seja $\mathcal{L}(g^{ij},\frac{\partial g_{ij}}{\partial
x^l},\phi,\partial_i \phi)$ a densidade lagrangeana. A ação é dada por
\begin{displaymath}
S=\int d^4x\sqrt{(-g)}\mathcal{L}
\end{displaymath} (1)

O tensor de momento-energia métrico é obtido[1] explorando-se o fato de que $S$ deve ser invariante sob transformações infinitesimais de coordenadas $x^{i}\rightarrow
x'^{i}$, com
\begin{displaymath}
x'^{i}=x^i + \xi^{i}(x)
\end{displaymath} (2)

Os campos e a métrica respondem a essa transformação da maneira seguinte[1]:
\begin{displaymath}
\delta\phi\equiv \phi'(x)-\phi(x)=-\xi^{i}(x)\partial_{i}\phi
\end{displaymath} (3)


\begin{displaymath}
\delta g^{ik}(x)=\xi^{i;k}+\xi^{k;i}
\end{displaymath} (4)

Isto induz na ação $S$ a variação
\begin{displaymath}
\delta S=\int d^4x\delta\left(\sqrt{(-g)}\mathcal{L}\right)+\int
d\sigma^l\sqrt{(-g)}\mathcal{L}
\end{displaymath} (5)

onde a segunda integral é essencial, uma vez que uma transformação geral de coordenadas não se anula necessariamente na fronteira de um domínio de integração. Para uma bela dedução desse termo, veja ([5]). Trata-se da sua equação (170). Como veremos, este termo de superfície é a chave de toda a prova. Mais explicitamente,
$\displaystyle \delta S$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int d^4x \sqrt{(-g)} \left\{\frac{\partial
\mathcal{L}}{\partial...
...{\partial
\mathcal{L}}{\partial(\partial_l \phi)}\partial_{l}\delta\phi\right\}$ (6)
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int
d^4x\left[\frac{\partial\left(\sqrt{(-g)}\mathcal{L}\right)}...
...
g^{ij}}{\partial x^l}\right)}\frac{\partial}{\partial x^l}\delta
g^{ij}\right]$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int d\sigma_l\xi^l\sqrt{(-g)}\mathcal{L}$  

As integrações parciais usuais levam a
$\displaystyle \delta S$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int d^4x \sqrt{(-g)} \left\{\frac{\partial
\mathcal{L}}{\partial...
...\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l
\phi)}\right]\right\}\delta\phi$ (7)
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int d^4 x\left[\frac{\partial\left(\sqrt{-g}\;
\mathcal{L}\right...
...sqrt{-g}\;
\mathcal{L}\right)}{\partial(\partial_l g^{ij})}\right]\delta g^{ij}$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int d\sigma_l\left[\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}
}{\partial(\partial_l \phi)}\right]\delta \phi$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int d\sigma_l \frac{\partial\left(\sqrt{-g}\;
\mathcal{L}\right)...
...\partial_l g^{ij})}\delta g^{ij} + \int
d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g}\; \mathcal{L}$  

Quando $\phi(x)$ satisfaz as equações de movimento, a primeira integral se anula. Definindo[1] o tensor de momento-energia métrico $T_{ij}$ por
\begin{displaymath}
\frac{1}{2}T_{ij}\sqrt{-g}\equiv \frac{\partial\left(\sqrt{...
...\sqrt{-g}\;
\mathcal{L}\right)}{\partial(\partial_l g^{ij})}
\end{displaymath} (8)

tem-se
$\displaystyle \delta S$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)} T_{ij}\delta g^{ij} +
\int d\sigma_l \sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L} }{\partial
(\partial_l \phi)}\delta \phi$ (9)
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int d\sigma_l \frac{\partial\left(\sqrt{-g}\;
\mathcal{L}\right)...
...\partial_l g^{ij})}\delta g^{ij} + \int
d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g}\; \mathcal{L}$  

Suponhamos, por um momento, que $\mathcal{L} $ não dependa das derivadas de $g^{ij}$. Isto quer dizer que os coeficientes sda conexão $\Gamma^{i}_{jk}$ não estrão presentes, explicitamente ou através dos vários tensores de curvatura. (Naturalmente isto é sempre verdade no espaço-tempo de Minkowski descrito por coordenadas ``cartesianas''). Inserindo em (10) os valores de $\delta \phi$ e $\delta g^{ij}$, temos
\begin{displaymath}
\delta S=\frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)}
T_{ij}\left(\xi...
...ial_l\phi)}\partial_m\phi+\delta^{l}_{m}
\mathcal{L}\right\}
\end{displaymath} (10)

isto é,
\begin{displaymath}
\delta S = \frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)}
T_{ij}\left(\...
...xi^{j;i}\right)- \int
d\sigma_l\sqrt{-g}\xi^m\Theta^{l}_{m}
\end{displaymath} (11)

onde reconhecemos
\begin{displaymath}
\Theta^{l}_{m}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l
\phi)}\partial_m \phi - \delta^{l}_{m} \mathcal{L}
\end{displaymath} (12)

como o tensor de momento-energia canônico. Ora, como é mostrado em detalhe na referência ([1]),
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \int d^4x \sqrt{(-g)}
T_{ij}\left(\xi^{i;j}+\x...
...i;k} \xi^{i}+\int d\sigma_l\sqrt{-g}\;T^{l}_{m}\xi^{m}
\; .
\end{displaymath} (13)

Levando (13) à (11),
\begin{displaymath}
\delta S = - \int d^4x \sqrt{(-g)} T^{k}_{i;k}\xi^{i} + \in...
..._l\sqrt{-g} \xi^{m}\left(T^{l}_{m}-\Theta^{l}_{m}\right) \; .
\end{displaymath} (14)

Como $\delta S$ deve se anular para $\xi^{i}$ arbitrário, obtém-se
\begin{displaymath}
T^{i}_{i;k}=0
\end{displaymath} (15)

e
\begin{displaymath}
\int d\sigma_l \sqrt{-g}\left(T^{l}_{m}-\Theta^{l}_{m}\right)\xi^m=0
\end{displaymath} (16)

ou, finalmente,
\begin{displaymath}
T^{l}_{m} = \Theta^{l}_{m}
\end{displaymath} (17)

mostrando a equvalência dos dois tensores.1
next up previous
Next: Eletrodinâmica Up: O Tensor de Momento-Energia Previous: Introdução
Henrique Fleming 2002-04-24