Apêndice

Vamos mostrar aqui que $\psi$ pode ser tomada real sem perda de generalidade. A equação para $\psi$ é:

$$\frac{1}{2m}\left\{-\hbar^2\vec{\nabla}^2 \psi+\frac{2i\hbar... ...vec{A}^2\psi\right\}+\frac{\partial F_{s0}}{\partial \psi^*}=0$$ (249)

e, usando os fatos conhecidos para o problema unidimensional,

$$\frac{1}{2m}\left\{-\hbar^2\frac{d^2\psi}{dz^2}+\frac{e^2}{c^2}\vec{A}^2\psi\right\} +\alpha\psi+\beta\vert\psi\vert^2\psi=0$$ (250)

Esta equação tem coeficientes reais. Logo, se $\psi_1$ é uma solução, $\psi_1^*$ também é, para os mesmos autovalores. Logo,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dz^2}+\frac{e^2}{2mc^2}A^2\psi_1+\alpha\psi_1 +\beta\vert\psi_1\vert^2\psi_1=0$$ (251)

e

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1^*}{dz^2}+\frac{e^2}{2mc^2}A^2\psi_1^* +\alpha\psi_1^* +\beta\vert\psi_1\vert^2\psi_1^*=0$$ (252)

Multiplicando a primeira por $\psi_1^*$, a segunda por $\psi_1$ e subtraíndo, tem-se

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\psi_1^*\frac{d^2\psi_1}{dz^2}-\psi_1\frac{d^2\psi_1^*}{dz^2}\right)=0$$ (253)

de onde segue que

$$\frac{d}{dz}\left(\psi_1^*\frac{d\psi_1}{dz}-\psi_1\frac{d\psi_1^*}{dz}\right)=0$$ (254)

e, consequentemente,

$$\psi_1^*\frac{d\psi_1}{dz}-\psi_1\frac{d\psi_1^*}{dz}=\;const.$$ (255)

A condição de contorno diz que, na superfície, $\frac{d\psi}{dz}=0$. Logo, na superfície, a constante é zero, e, por ser constante, é zero em todo lugar. Segue que

$$\frac{1}{\psi_1}\frac{d\psi_1}{dz}=\frac{1}{\psi_1^*}\frac{d\psi_1^*}{dz}$$ (256)

ou

$$\psi_1=K\psi_1^*$$ (257)

e, como funções de onda múltiplas são equivalentes,

$$\psi_1 = \psi_1^*$$ (258)

que é o que pretendíamos demonstrar.