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Vamos mostrar aqui que
pode ser tomada real sem perda de
generalidade. A equação para
é:
![\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left\{-\hbar^2\vec{\nabla}^2 \psi+\frac{2i\hbar...
...vec{A}^2\psi\right\}+\frac{\partial
F_{s0}}{\partial \psi^*}=0
\end{displaymath}](img496.png) |
(249) |
e, usando os fatos conhecidos para o problema unidimensional,
![\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left\{-\hbar^2\frac{d^2\psi}{dz^2}+\frac{e^2}{c^2}\vec{A}^2\psi\right\}
+\alpha\psi+\beta\vert\psi\vert^2\psi=0
\end{displaymath}](img497.png) |
(250) |
Esta equação tem coeficientes reais. Logo, se
é uma
solução,
também é, para os mesmos autovalores.
Logo,
![\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dz^2}+\frac{e^2}{2mc^2}A^2\psi_1+\alpha\psi_1
+\beta\vert\psi_1\vert^2\psi_1=0
\end{displaymath}](img500.png) |
(251) |
e
![\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1^*}{dz^2}+\frac{e^2}{2mc^2}A^2\psi_1^*
+\alpha\psi_1^*
+\beta\vert\psi_1\vert^2\psi_1^*=0
\end{displaymath}](img501.png) |
(252) |
Multiplicando a primeira por
, a segunda por
e
subtraíndo, tem-se
![\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\psi_1^*\frac{d^2\psi_1}{dz^2}-\psi_1\frac{d^2\psi_1^*}{dz^2}\right)=0
\end{displaymath}](img502.png) |
(253) |
de onde segue que
![\begin{displaymath}
\frac{d}{dz}\left(\psi_1^*\frac{d\psi_1}{dz}-\psi_1\frac{d\psi_1^*}{dz}\right)=0
\end{displaymath}](img503.png) |
(254) |
e, consequentemente,
![\begin{displaymath}
\psi_1^*\frac{d\psi_1}{dz}-\psi_1\frac{d\psi_1^*}{dz}=\;const.
\end{displaymath}](img504.png) |
(255) |
A condição de contorno diz que, na
superfície,
. Logo, na superfície, a
constante é zero, e, por ser constante, é zero em todo lugar.
Segue que
![\begin{displaymath}
\frac{1}{\psi_1}\frac{d\psi_1}{dz}=\frac{1}{\psi_1^*}\frac{d\psi_1^*}{dz}
\end{displaymath}](img506.png) |
(256) |
ou
![\begin{displaymath}
\psi_1=K\psi_1^*
\end{displaymath}](img507.png) |
(257) |
e, como funções de onda múltiplas são equivalentes,
![\begin{displaymath}
\psi_1 = \psi_1^*
\end{displaymath}](img508.png) |
(258) |
que é o que pretendíamos demonstrar.
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Henrique Fleming
2002-04-15