Demonstração geral de von Laue

A equação

$$\vec{\nabla}^2u=\frac{u}{\lambda^2}$$ (44)

é satisfeita por qualquer das componentes do campo $\vec{B}$. Vamos mostrar de uma maneira geral que ela (a equação !) descreve um amortecimento exponencial de $u$ no interior de um supercondutor. Será usado o teorema de Green

$$\int_VdV\left(u\vec{\nabla}^2v-v\vec{\nabla}^2u\right) =\int... ...{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)$$ (45)

Note-se que, se $u$ e $v$ satisfazem (44), então (45) se reduz a

$$\int_sdS\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n} \right)=0$$ (46)

A função $v$ será escolhida como

$$v(\vec{r})=\frac{\exp{-\frac{1}{\lambda}\vert\vec{r}-\vec{r}_P\vert}}{\vert\vec{r}- \vec{r}_P\vert}$$ (47)

que satisfaz (44) a não ser no ponto $\vec{r}_P$. Vamos aplicar (46) na região interna ao supercondutor mostrado na figura.

Em torno do ponto $P$ toma-se uma superfície esférica de raio $R_0$, e outra de raio $R>R_0$. A região considerada é a delimitada pelas duas superfícies esféricas, mostrada em cinza na figura.

Na superfície de raio $R$,

$$\frac{\partial v}{\partial n}=\frac{\partial}{\partial R} \f... ...ambda}\exp{-\frac{R}{\lambda}}-\exp{-\frac{R}{\lambda}}} {R^2}$$ (48)

$$\left(\frac{\partial v}{\partial n}\right)_{R}= \left(\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\right)e^{-\frac{R}{\lambda}}$$ (49)

e, analogamente,

$$\left(\frac{\partial v}{\partial n}\right)_{R_0}= \left(\fra... ...lambda R_0}+\frac{1}{R_{0}^2}\right)e^{-\frac{R_{0}}{\lambda}}$$ (50)

Na região escolhida o teorema de Green é escrito

$$0 = \int_R dS\left[-u\left(\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\right)e^... ...\lambda}} -\frac{e^{-\frac{R}{\lambda}}}{R}\frac{\partial u}{\partial R}\right]$$ (51)

$$+ \int_{R_{0}} dS\left[u\left(\frac{1}{\lambda R_{0}}+\frac{1}{R_{0... ...frac{e^{-\frac{R_{0}}{\lambda}}}{R_{0}}\frac{\partial u}{\partial R_{0}}\right]$$

o que é a mesma coisa que

$$0 = -\left(\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\right)e^{-\frac{R}{\lamb... ...R u dS - \frac{e^{-\frac{R}{\lambda}}}{R}\int_R \frac{\partial u}{\partial R}dS$$ (52)

$$+ 0 \left(\frac{1}{\lambda R_{0}}+\frac{1}{R_{0}^2}\right)e^{-\frac... ...{-\frac{R_{0}}{\lambda}}}{R_{0}}\int_{R_0} \frac{\partial u} {\partial R_{0}}dS$$

No limite em que a esfera de raio $R_0$ tende ao ponto, temos

$$\int_{R_0}u dS \;\;\; \rightarrow \; 4\pi R_{0}^2 u(\vec{r}_P)$$ (53)

$$\int_{R_0}\frac{\partial u}{\partial R_{0}} dS \; \; \; \rightarrow \; 0$$ (54)

Usando as eqs.(53) e (54) em (53), tem-se

$$4\pi u(\vec{r}_P)=\left(\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\ri... ...e^{-\frac{R}{\lambda}}}{R} \int\frac{\partial u}{\partial R}dS$$ (55)

Trocando-se $\lambda$ por $-\lambda$, obtém-se

$$4\pi u(\vec{r}_P)=\left(-\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\r... ...{e^{\frac{R}{\lambda}}}{R} \int\frac{\partial u}{\partial R}dS$$ (56)

Multiplicando (55) por $e^{\frac{R}{\lambda}}$, (56) por $e^{-\frac{R}{\lambda}}$ e subtraíndo, temos

$$4\pi u(\vec{r}_P)2\;\sinh{\frac{R}{\lambda}}=\frac{2}{\lambda R}\int_P u dS =\frac{2}{\lambda r}4 \pi R^2 \overline{u}$$ (57)

ou

$$u(\vec{r}_P)=\frac{(R/\lambda)}{\sinh{\frac{R}{\lambda}}}$$ (58)

Para $R\ne 0$, temos $\frac{(R/\lambda)}{\sinh{\frac{R}{\lambda}}}<1$. Logo,

$$u(\vec{r}_P) < \overline{u}$$ (59)

Como isto é válido para qualquer esfera centrada em qualquer ponto do supercondutor, os máximos valores de $u$ estão na superfície, e diminuem exponencialmente com o aprofundamento no supercondutor. Note-se que, para condutores muito pouco espessos, o fenômeno da superconutividade é muito diferente, já que o campo magnético não chega a se anular na espessura do condutor. Isto abriu uma área de pesquisa, dos supercondutores superficiais.