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A equação
![\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2u=\frac{u}{\lambda^2}
\end{displaymath}](img108.png) |
(44) |
é satisfeita por qualquer das componentes do campo
. Vamos
mostrar de uma maneira geral que ela (a equação !) descreve um amortecimento
exponencial de
no interior de um supercondutor. Será usado o teorema
de Green
![\begin{displaymath}
\int_VdV\left(u\vec{\nabla}^2v-v\vec{\nabla}^2u\right)
=\int...
...{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)
\end{displaymath}](img110.png) |
(45) |
Note-se que, se
e
satisfazem (44), então (45)
se reduz a
![\begin{displaymath}
\int_sdS\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}
\right)=0
\end{displaymath}](img112.png) |
(46) |
A função
será escolhida como
![\begin{displaymath}
v(\vec{r})=\frac{\exp{-\frac{1}{\lambda}\vert\vec{r}-\vec{r}_P\vert}}{\vert\vec{r}-
\vec{r}_P\vert}
\end{displaymath}](img113.png) |
(47) |
que satisfaz (44) a não ser no ponto
. Vamos aplicar
(46) na região interna ao supercondutor mostrado na figura.
Em torno do ponto
toma-se uma superfície esférica de raio
,
e outra de raio
. A região considerada é a delimitada pelas duas
superfícies esféricas, mostrada em cinza na figura.
Na superfície de raio
,
![\begin{displaymath}
\frac{\partial v}{\partial n}=\frac{\partial}{\partial R}
\f...
...ambda}\exp{-\frac{R}{\lambda}}-\exp{-\frac{R}{\lambda}}}
{R^2}
\end{displaymath}](img120.png) |
(48) |
![\begin{displaymath}
\left(\frac{\partial v}{\partial n}\right)_{R}=
\left(\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\right)e^{-\frac{R}{\lambda}}
\end{displaymath}](img121.png) |
(49) |
e, analogamente,
![\begin{displaymath}
\left(\frac{\partial v}{\partial n}\right)_{R_0}=
\left(\fra...
...lambda R_0}+\frac{1}{R_{0}^2}\right)e^{-\frac{R_{0}}{\lambda}}
\end{displaymath}](img122.png) |
(50) |
Na região escolhida o teorema de Green é escrito
o que é a mesma coisa que
No limite em que a esfera de raio
tende ao ponto, temos
![\begin{displaymath}
\int_{R_0}u dS \;\;\; \rightarrow \; 4\pi R_{0}^2 u(\vec{r}_P)
\end{displaymath}](img128.png) |
(53) |
![\begin{displaymath}
\int_{R_0}\frac{\partial u}{\partial R_{0}} dS \; \; \; \rightarrow \; 0
\end{displaymath}](img129.png) |
(54) |
Usando as eqs.(53) e (54) em (53), tem-se
![\begin{displaymath}
4\pi u(\vec{r}_P)=\left(\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\ri...
...e^{-\frac{R}{\lambda}}}{R} \int\frac{\partial u}{\partial R}dS
\end{displaymath}](img130.png) |
(55) |
Trocando-se
por
, obtém-se
![\begin{displaymath}
4\pi u(\vec{r}_P)=\left(-\frac{1}{\lambda R}+\frac{1}{R^2}\r...
...{e^{\frac{R}{\lambda}}}{R} \int\frac{\partial u}{\partial R}dS
\end{displaymath}](img132.png) |
(56) |
Multiplicando (55) por
, (56) por
e subtraíndo, temos
![\begin{displaymath}
4\pi u(\vec{r}_P)2\;\sinh{\frac{R}{\lambda}}=\frac{2}{\lambda R}\int_P u dS
=\frac{2}{\lambda r}4 \pi R^2 \overline{u}
\end{displaymath}](img135.png) |
(57) |
ou
![\begin{displaymath}
u(\vec{r}_P)=\frac{(R/\lambda)}{\sinh{\frac{R}{\lambda}}}
\end{displaymath}](img136.png) |
(58) |
Para
, temos
.
Logo,
![\begin{displaymath}
u(\vec{r}_P) < \overline{u}
\end{displaymath}](img139.png) |
(59) |
Como isto é válido para qualquer esfera centrada em qualquer ponto do
supercondutor, os máximos valores de
estão na superfície, e diminuem
exponencialmente com o aprofundamento no supercondutor.
Note-se que, para condutores muito pouco espessos, o fenômeno da superconutividade
é muito diferente, já que o campo magnético não chega a se anular na espessura
do condutor. Isto abriu uma área de pesquisa, dos supercondutores superficiais.
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Henrique Fleming
2002-04-15