Termodinâmica dos materiais magnéticos

Se um pedaço de matéria sofre a ação de um campo magnético, adquire, em geral, um momento magnético. O processo envolve energia, e é preciso incluir esta energia na identidade termodinâmica. O trabalho magnético será da forma

$$dW_{mag}=PdX$$ (60)

e, para determinar essas quantidades, vamos usar o arranjo esboçado na figura

Um solenoide de fio supercondutor é ligado a uma bateria de força eletromotriz regulável. Dentro do solenóide há um pedaço de matéria que será chamado de sistema termodinâmico (ST). O solenóide se separa do ambiente por uma parede adiabática.

Seja $I$ a corrente que passa no solenóide, e $\vec{M}(\vec{r})$ a magnetização do $ST$. Variando $I$, varia $\vec{M}(\vec{r})$. Supõe-se que a função $\vec{M}(\vec{r},I)$ seja unívoca de $I$ (estão excluídos, assim, os materiais ferromagnéticos).

Na ausência de $ST$ a corrente produzirá um campo $\vec{H}_{e}(I)$, que é uma função determinada de $I$. Este campo externo pode ser uma função da posição dentro do solenóide, e depende linearmente de $I$¹. Logo,

$$\vec{H}_{e}=\vec{h}I$$ (61)

onde $\vec{h}=\vec{h}(\vec{r})$. Aumentando-se a corrente, o campo externo $\vec{H}_{e}$ aumenta, e o momento magnético varia, em resposta. Para isso a bateria deve fornecer trabalho, e o que procuramos é a relação entre o trabalho feito por ela e as mudanças em $\vec{H}_e$ e $\vec{M}$.

A potência gasta pela bateria é

$$\frac{dW_{mag}}{dt}=IV$$ (62)

onde $V$ é a força eletromotriz induzida na bobina pelas variações nos fluxos magnéticos. Provém de dois fatores:
1. Na ausência do $ST$, provém da variação de $\vec{H}_e$. Esta parte é, então, dada por

$$d_1W_{mag}=d\left(\frac{1}{8\pi}\int \vec{H}_{e}^2dV\right)$$ (63)

2.Efeitos devidos à presença do sistema termodinâmico. Suponhamos que, no ponto $\vec{r}$, exista uma pequena espira de área $\vec{a}$ e corrente $i$, com um momento magnético, então, dado por $\vec{m}=\frac{i\vec{a}}{c}$. O campo do solenoide no ponto $\vec{r}$ é $\vec{H}_e(\vec{r})=\vec{h}(\vec{r})I$. O fluxo deste campo na espira é

$$\vec{h}(\vec{r}).\vec{a}I$$ (64)

Ora, o fluxo que atravessa a espira é

$$\frac{\phi_{esp}}{c}=iL_{11}^e +I L_{12}$$ (65)

(note que $\frac{\phi_{sol}}{c}=IL^s_{11}+iL_{12}$) onde $L_{11}$ é o coeficiente de autoindução e $L_{12}$ é o coeficiente de indição mútua. Logo,

$$L_{12} = \frac{\vec{h}(\vec{r}).\vec{a}}{c}$$ (66)

Se a corrente na espira varia, a $fem$ induzida no solenoide é

$$V=\frac{1}{c}\frac{d\phi_{sol}}{dt}=L_{12}\frac{di}{dt} =\fr... ...\vec{a}}{c}\frac{di}{dt}= \vec{h}(\vec{r}).\frac{d\vec{m}}{dt}$$ (67)

ou ainda,

$$V=\frac{1}{I}\vec{H}_{e}(\vec{r}).\frac{d\vec{m}}{dt}$$ (68)

e, por conseguinte, para um dipolo,

$$\frac{d_{2}W_{mag}}{dt}=\vec{H}_{e}(\vec{r}).\frac{d\vec{m}}{dt}$$ (69)

Pondo

$$\vec{m}=\vec{M}(\vec{r})dV$$ (70)

tem-se

$$\frac{d_{2}W_{mag}}{dt}=\int dV\vec{H}_{e}.\frac{d\vec{M}}{dt}$$ (71)

Somando as duas contribuições ,

$$dW_{mag}=d\left(\frac{1}{8\pi}\int \vec{H}_{e}^2 dV\right) + \int dV \vec{H}_{e}.d\vec{M}$$ (72)

Pelos nossos resultados gerais, deveríamos esperar o seguinte:

$$\delta W_{mag}=\frac{1}{4\pi}\int dV \vec{H}.d\vec{B}$$ (73)

e, como

$$\vec{B}=\vec{H}+4\pi \vec{M} \; ,$$ (74)

$$\delta W_{mag} = \frac{1}{4\pi}\int dV \vec{H}.d\vec{H}+ \int dV \vec{H}.d\vec{M}$$ (75)

$$\delta W_{mag} = d\left(\frac{1}{8\pi}\int dV \vec{H}^2\right) + \int dV\vec{H}.d\vec{M}$$ (76)

onde $\vec{H}$ agora é o campo magnético real. Mas é claro que $\vec{H}=\vec{H}_{e}$, logo, as duas quantidades coincidem.