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Se um pedaço de matéria sofre a ação de um campo magnético, adquire, em geral, um
momento magnético. O processo envolve energia, e é preciso incluir esta
energia na identidade termodinâmica. O trabalho magnético será da forma
![\begin{displaymath}
dW_{mag}=PdX
\end{displaymath}](img140.png) |
(60) |
e, para determinar essas quantidades, vamos usar o arranjo esboçado na figura
Um solenoide de fio supercondutor é ligado a uma bateria de força eletromotriz
regulável. Dentro do solenóide há um pedaço de matéria que será chamado
de sistema termodinâmico (ST). O solenóide se separa do ambiente
por uma parede adiabática.
Seja
a corrente que passa no solenóide, e
a magnetização
do
. Variando
, varia
. Supõe-se que a função
seja unívoca de
(estão excluídos, assim, os materiais
ferromagnéticos).
Na ausência de
a corrente produzirá um campo
, que é uma
função determinada de
. Este campo externo pode ser uma função da posição dentro
do solenóide, e depende linearmente de
1. Logo,
![\begin{displaymath}
\vec{H}_{e}=\vec{h}I
\end{displaymath}](img147.png) |
(61) |
onde
.
Aumentando-se a corrente, o campo externo
aumenta, e o momento magnético
varia, em resposta. Para isso a bateria deve fornecer trabalho, e o que procuramos é a
relação entre o trabalho feito por ela e as mudanças em
e
.
A potência gasta pela bateria é
![\begin{displaymath}
\frac{dW_{mag}}{dt}=IV
\end{displaymath}](img151.png) |
(62) |
onde
é a força eletromotriz induzida na bobina pelas variações
nos fluxos magnéticos. Provém de dois fatores:
1. Na ausência do
, provém da variação de
. Esta parte é,
então, dada por
![\begin{displaymath}
d_1W_{mag}=d\left(\frac{1}{8\pi}\int \vec{H}_{e}^2dV\right)
\end{displaymath}](img153.png) |
(63) |
2.Efeitos devidos à presença do sistema termodinâmico. Suponhamos que, no ponto
, exista uma pequena espira de área
e corrente
, com
um momento magnético, então, dado por
.
O campo do solenoide no ponto
é
.
O fluxo deste campo na espira é
![\begin{displaymath}
\vec{h}(\vec{r}).\vec{a}I
\end{displaymath}](img158.png) |
(64) |
Ora, o fluxo que atravessa a espira é
![\begin{displaymath}
\frac{\phi_{esp}}{c}=iL_{11}^e +I L_{12}
\end{displaymath}](img159.png) |
(65) |
(note que
)
onde
é o coeficiente de autoindução e
é o coeficiente
de indição mútua. Logo,
![\begin{displaymath}
L_{12} = \frac{\vec{h}(\vec{r}).\vec{a}}{c}
\end{displaymath}](img163.png) |
(66) |
Se a corrente na espira varia, a
induzida no solenoide é
![\begin{displaymath}
V=\frac{1}{c}\frac{d\phi_{sol}}{dt}=L_{12}\frac{di}{dt}
=\fr...
...\vec{a}}{c}\frac{di}{dt}=
\vec{h}(\vec{r}).\frac{d\vec{m}}{dt}
\end{displaymath}](img165.png) |
(67) |
ou ainda,
![\begin{displaymath}
V=\frac{1}{I}\vec{H}_{e}(\vec{r}).\frac{d\vec{m}}{dt}
\end{displaymath}](img166.png) |
(68) |
e, por conseguinte, para um dipolo,
![\begin{displaymath}
\frac{d_{2}W_{mag}}{dt}=\vec{H}_{e}(\vec{r}).\frac{d\vec{m}}{dt}
\end{displaymath}](img167.png) |
(69) |
Pondo
![\begin{displaymath}
\vec{m}=\vec{M}(\vec{r})dV
\end{displaymath}](img168.png) |
(70) |
tem-se
![\begin{displaymath}
\frac{d_{2}W_{mag}}{dt}=\int dV\vec{H}_{e}.\frac{d\vec{M}}{dt}
\end{displaymath}](img169.png) |
(71) |
Somando as duas contribuições ,
![\begin{displaymath}
dW_{mag}=d\left(\frac{1}{8\pi}\int \vec{H}_{e}^2 dV\right)
+ \int dV \vec{H}_{e}.d\vec{M}
\end{displaymath}](img170.png) |
(72) |
Pelos nossos resultados gerais, deveríamos esperar o seguinte:
![\begin{displaymath}
\delta W_{mag}=\frac{1}{4\pi}\int dV \vec{H}.d\vec{B}
\end{displaymath}](img171.png) |
(73) |
e, como
![\begin{displaymath}
\vec{B}=\vec{H}+4\pi \vec{M} \; ,
\end{displaymath}](img172.png) |
(74) |
onde
agora é o campo magnético real. Mas é claro que
, logo, as duas quantidades coincidem.
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Henrique Fleming
2002-04-15