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Nesta teoria o supercondutor é considerado um condutor perfeito
(
). Neste caso a ação de um campo elétrico sobre um
elétron causa uma aceleração constante:
,
e, como
(
é o número de elétrons por
unidade de volume), pode-se escrever
![\begin{displaymath}
\vec{E}=\frac{4\pi\lambda^2}{c^2}\dot{\vec{j}}
\end{displaymath}](img84.png) |
(29) |
onde
![\begin{displaymath}
\lambda^2=\frac{mc^2}{4\pi n e^2}
\end{displaymath}](img85.png) |
(30) |
Daqui segue, usando-se as equações de Maxwell, que
![\begin{displaymath}
\frac{4\pi\lambda^2}{c}rot\dot{\vec{j}}+\dot{\vec{B}}=0
\end{displaymath}](img86.png) |
(31) |
Por causa da equação
, temos
![\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2\dot{\vec{B}}=\frac{\dot{\vec{B}}}{\lambda^2}
\end{displaymath}](img88.png) |
(32) |
Integrando no tempo segue que
![\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2\left(\vec{B}-\vec{B}_0\right)=
\frac{\vec{B}-\vec{B}_0}{\lambda^2}
\end{displaymath}](img89.png) |
(33) |
onde
é independente do tempo.
A equação (32), como veremos a seguir, conduz a funções
que tendem exponencialmente a zero quando se penetra
no condutor perfeito. Contudo, elas não levam ao valor
,
e devem por isso ser modificadas. A modificação proposta por F. London
é a seguinte: um supercondutor é uma substância especial para a
qual vale a equação :
![\begin{displaymath}
\frac{4\pi\lambda^2}{c}rot\vec{j} + \vec{B}=0
\end{displaymath}](img92.png) |
(34) |
Desta obtém-se, imediatamente,
![\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2\vec{B}=\frac{\vec{B}}{\lambda^2}
\end{displaymath}](img93.png) |
(35) |
ou, equivalentemente,
![\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2 \vec{j}=\frac{\vec{j}}{\lambda^2}
\end{displaymath}](img94.png) |
(36) |
Vamos examinar rapidamente esta equação .
O campo considerado tem a direção do eixo
, e é tal que
![\begin{displaymath}
\frac{dB_x}{dx}=0
\end{displaymath}](img97.png) |
(37) |
A equação (35) diz que
![\begin{displaymath}
\frac{d^2B}{dy^2}=0
\end{displaymath}](img98.png) |
(38) |
![\begin{displaymath}
\frac{dB}{dy}\frac{d^2B}{dy^2}=\frac{1}{\lambda^2}B\frac{dB}...
...t[\left(\frac{dB}{dy}\right)^2-
\frac{B^2}{\lambda^2}\right]=0
\end{displaymath}](img99.png) |
(39) |
Logo, o termo entre colchetes é constante,
![\begin{displaymath}
\left(\frac{dB}{dy}\right)^2-\frac{B^2}{\lambda^2}=K
\end{displaymath}](img100.png) |
(40) |
Mas
tem de ser zero, pois se sabe que, no âmago do supercondutor,
. Logo,
isto é,
cai exponencialmente a zero, e existe um
comprimento de penetração da ordem de
![\begin{displaymath}
\lambda=\sqrt{\frac{mc^2}{4\pi n e^2}}
\end{displaymath}](img107.png) |
(43) |
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Henrique Fleming
2002-04-15