Primeira versão (Becker, Heller, Sauter)

Nesta teoria o supercondutor é considerado um condutor perfeito ($\sigma=\infty$). Neste caso a ação de um campo elétrico sobre um elétron causa uma aceleração constante: $m\dot{\vec{v}}=e\vec{E}$, e, como $\vec{j}=ne\vec{v}$ ($n$ é o número de elétrons por unidade de volume), pode-se escrever

$$\vec{E}=\frac{4\pi\lambda^2}{c^2}\dot{\vec{j}}$$ (29)

onde

$$\lambda^2=\frac{mc^2}{4\pi n e^2}$$ (30)

Daqui segue, usando-se as equações de Maxwell, que

$$\frac{4\pi\lambda^2}{c}rot\dot{\vec{j}}+\dot{\vec{B}}=0$$ (31)

Por causa da equação $rot\vec{B}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}$, temos

$$\vec{\nabla}^2\dot{\vec{B}}=\frac{\dot{\vec{B}}}{\lambda^2}$$ (32)

Integrando no tempo segue que

$$\vec{\nabla}^2\left(\vec{B}-\vec{B}_0\right)= \frac{\vec{B}-\vec{B}_0}{\lambda^2}$$ (33)

onde $\vec{B_0}$ é independente do tempo. A equação (32), como veremos a seguir, conduz a funções $\dot{\vec{B}}$ que tendem exponencialmente a zero quando se penetra no condutor perfeito. Contudo, elas não levam ao valor $\vec{B}=0$, e devem por isso ser modificadas. A modificação proposta por F. London é a seguinte: um supercondutor é uma substância especial para a qual vale a equação :

$$\frac{4\pi\lambda^2}{c}rot\vec{j} + \vec{B}=0$$ (34)

Desta obtém-se, imediatamente,

$$\vec{\nabla}^2\vec{B}=\frac{\vec{B}}{\lambda^2}$$ (35)

ou, equivalentemente,

$$\vec{\nabla}^2 \vec{j}=\frac{\vec{j}}{\lambda^2}$$ (36)

Vamos examinar rapidamente esta equação .

O campo considerado tem a direção do eixo $x$, e é tal que

$$\frac{dB_x}{dx}=0$$ (37)

A equação (35) diz que

$$\frac{d^2B}{dy^2}=0$$ (38)

$$\frac{dB}{dy}\frac{d^2B}{dy^2}=\frac{1}{\lambda^2}B\frac{dB}... ...t[\left(\frac{dB}{dy}\right)^2- \frac{B^2}{\lambda^2}\right]=0$$ (39)

Logo, o termo entre colchetes é constante,

$$\left(\frac{dB}{dy}\right)^2-\frac{B^2}{\lambda^2}=K$$ (40)

Mas $K$ tem de ser zero, pois se sabe que, no âmago do supercondutor, $\vec{B}=0$. Logo,

$$\left(\frac{dB}{dy}\right)^2 = \frac{B^2}{\lambda^2}$$ (41)

$$\frac{dB}{dy} = \pm \frac{B}{\lambda} \; \; \; \rightarrow \; \; \; B=B_0e^{-\frac{y}{\lambda}}$$ (42)

isto é, $B$ cai exponencialmente a zero, e existe um comprimento de penetração da ordem de $\lambda$

$$\lambda=\sqrt{\frac{mc^2}{4\pi n e^2}}$$ (43)