A derivada no tempo de um operador

Diremos que um operador $\hat{\dot{f}}$ é a derivada no tempo do operador $\hat{f}$ se, sendo $\langle \hat{f} \rangle$ o valor médio de $\hat{f}$ num estado arbitrário, e $\langle \hat{\dot{f}} \rangle$ o valor médio de $\hat{\dot{f}}$ nesse mesmo estado, tivermos

$$\frac{d}{dt}\langle \hat{f} \rangle = \langle \hat{\dot{f}} \rangle$$ (17)

Explicitando, devemos ter

$$\frac{d}{dt}\langle \hat{f} \rangle =\frac{d}{dt}\int dq \p... ...i + \int dq \psi^* \hat{f} \frac{\partial \psi}{\partial t}$$ (18)

Usando a equação de Schrödinger, obtemos

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \psi^*}{\partial t} & = & \frac{i}{\hbar} \hat... ...{\partial \psi}{\partial t} & = & \frac{-i}{\hbar} \hat{H} \psi \end{eqnarray*}$$

Usando esses resultados em (18), temos

$$\frac{d}{dt}\langle \hat{f} \rangle =\int dq \psi^*\frac{\p... ...c{i}{\hbar}\int dq \psi^* \hat{f} \left( \hat{H} \psi\right)$$ (19)

O termo que contém a derivada parcial do operador só existe quando a expressão do operador contém parâmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tivéssemos uma partícula livre de massa variável, seu hamiltoniano seria

$$\hat{H} = -\frac{\hbar ^2}{2 m(t)} \vec{\nabla}^2$$ (20)

e a derivada em questão seria dada por

$$\frac{\partial \hat{H}}{\partial t} = \frac{\hbar ^2}{2 m^2(t)}\frac{dm}{dt}\vec{\nabla ^2}$$

Na grande maioria dos casos este termo é inexistente.
Voltando à Eq.(19), e usando o fato de que $\hat{H}$ é hermiteano, temos

$$\int dq \left(\hat{H}^* \psi^*\right)\hat{f}\psi = \int dq \psi^* \hat{H}\hat{f}\psi =\int dq \psi^* \hat{H}\hat{f}\psi$$ (21)

e, conseqüentemente,

$$\frac{d}{dt}\langle \hat{f} \rangle = \int \psi^*\left(\fra... ...hbar}\hat{H}\hat{f} -\frac{i}{\hbar}\hat{f}\hat{H}\right)\psi$$ (22)

Como, por definição,

$$\frac{d}{dt}\langle \hat{f} \rangle = \int dq \psi^* \hat{\dot{f}}\psi$$

temos que

$$\hat{\dot{f}} = \frac{\partial \hat{f}}{\partial t} + \frac{i}{\hbar}\left( \hat{H}\hat{f}-\hat{f}\hat{H}\right)$$ (23)

Como dissemos, o caso mais importante é aquele em que $\frac{\partial \hat{f}} {\partial t}=0$ (diz-se então que o operador não tem dependência explícita no tempo.) Neste caso,

$$\hat{\dot{f}}=\frac{i}{\hbar}\left( \hat{H}\hat{f}-\hat{f}\hat{H}\right)$$ (24)

Vemos então que, se $[\hat{H},\hat{f}]=0$, $\hat{\dot{f}}=0$, e

$$\langle \hat{f} \rangle = constante \;\;.$$ (25)

Na mecânica quântica, a constância de uma quantidade física no tempo quer dizer isto: que o valor médio dessa quantidade independe do tempo. Considere o operador $\hat{H}$. Temos, evidentemente, que $[\hat{H},\hat{H}]=0$, logo, se $\hat{H}$ não depende explicitamente do tempo,

$$\hat{\dot{H}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{H}]=0$$ (26)

e $\frac{d}{dt}\langle \hat{H} \rangle =0$. A quantidade física associada ao hamiltoniano é a energia. Logo, a energia se conserva, na mecânica quântica.

Como $\int \vert\psi^2\vert dq =1$, sendo a integral estendida a todo o espaço, temos que

$$0= \frac{d}{dt}\int dq \vert\psi\vert^2 = \frac{d}{dt}\int ... ...rtial t}\psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t}\right)$$ (27)

Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equação de Schrödinger, temos:

$$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{i}{\hbar}\left( \int dq \psi \hat{H}^* \psi^* - \i... ...& \frac{i}{\hbar}\int \psi^*\left(\hat{H}^+-\hat{H}\right)\psi \end{eqnarray*}$$

Segue então que $\hat{H} = \hat{H}^+$, ou seja, que $\hat{H}$ é hermiteano.