Energia e Momento

A função de onda determina completamente o estado físico do sistema. Isto significa que, dada a função de onda $\psi$ de um sistema no instante $t$, não somente todas as propriedades do sistema naquele instante estão descritas, mas também as propriedades em qualquer instante subseqüente (tudo isso, naturalmente, em termos do conceito de descrição completa admitido pela mecânica quântica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira no tempo, $\frac{\partial \psi}{\partial t}$ no instante $t$ é determinada pelo valor de $\psi$ no mesmo instante. Como a teoria é linear, essa relação é também linear. Vamos escrevê-la assim:

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi$$ (13)

onde $\hat{H}$ é um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de descobrir a natureza de $\hat{H}$ é impôr que, no limite clássico, as leis de Newton sejam obtidas. Usando argumentos de mecânica avançada mostra-se que $\hat{H}$ deve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dos momentos $p_i$ e das coordenadas $q_i$ do sistema, fazendo-se ainda a substituição

$$p_i = -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i}$$ (14)

Exemplos:
(1) A partícula livre unidimensional:

$$\begin{eqnarray*} E & = & \frac{p^2}{2m} \\ \hat{p} & = & -i\hbar \frac{\part... ...& = & -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$$

Equação de Schrödinger completa:

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi} {\partial x^2} \; .$$ (15)

(2) A partícula livre tri-dimensional:

$$\begin{eqnarray*} E & = & \frac{1}{2m}\left(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\right) \\ \... ...)\\ \hat{H} \psi & = & -\frac{\hbar ^2}{2m}\vec{\nabla}^2\psi \end{eqnarray*}$$

Equação de Schrödinger completa:

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar ^2}{2m}\vec{\nabla}^2 \psi$$ (16)

(3) Partícula sobre a ação de um potencial:
Seja $V(x,y,z)$ a energia potencial da partícula. Na mecânica quântica o operador energia potencial, $\hat{V}(\vec{r})$ é definido por:

$$\hat{V}(\vec{r})\psi(\vec{r}) \equiv V(\vec{r})\psi(\vec{r})$$

ou seja, a ação do operador $\hat{V}(\vec{r})$ sobre a função $\psi(\vec{r})$ consiste simplesmente em multiplicá-la pelo número $V(\vec{r})$. Exemplo:
Oscilador harmônico unidimensional:

$$\begin{eqnarray*} \hat{V}(x) \psi(x) & = & V(x) \psi(x) = \frac{1}{2}k x^2 \psi... ... -\frac{\hbar ^2}{2m}\vec{\nabla ^2}\psi + \frac{1}{2}k x^2\psi \end{eqnarray*}$$

Exercício: Mostre que o hamiltoniano do oscilador harmônico é hermiteano.