O comutador de $\hat{p}$ e $\hat{q}$

Como $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$, temos

$$[\hat{x}, \hat{p}_x]\psi(x)=\hat{x}(-i\hbar) \frac{\partial \... ...}- (-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x}\left(x\psi(x)\right)$$ (28)

que leva a

$$[\hat{x}, \hat{p}_x]\psi(x)=i\hbar \psi(x)$$ (29)

Logo, temos a igualdade entre operadores:

$$[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar \hat{1}$$ (30)

onde $\hat{1}$ é o operador unidade, definido por

$$\hat{1}\psi = \psi$$ (31)

qualquer que seja $\psi$. Obviamente isto vale também para as outras componentes. Numa forma geral. temos:

$$[\hat{p}_i, \hat{q}_j]=-i\hbar \delta_{ij}\hat{1}$$ (32)

São as chamadas relações de Heisenberg.