Construção dos harmônicos esféricos

Chamaremos de operadores vetoriais operadores do tipo

$$\hat{\vec{T}}=\hat{T}_x\vec{i}+\hat{T}_y\vec{j}+\hat{T}_z\vec{k}$$

e que satisfazem as seguintes relações de comutação com as componentes do momento angular:

$$[\hat{l}_a, \hat{T}_b]= i\epsilon_{abc}\hat{T}_c$$ (103)

onde a costumeira convenção indica uma soma sobre os valores do índice $c$, e, sendo $\hat{T}^{(1)}$ e $\hat{T}^{(2)}$ dois operadores desse tipo,

$$[\hat{l}_i, \hat{T}^{(1)}_{j}\hat{T}^{(2)}_{j}]=0$$ (104)

Exemplos: $\hat{r}$, $\hat{p}$ e $\hat{L}$ são, todos, operadores vetoriais. Das relações acima segue, em particular, que, para qualquer operador vetorial $\hat{T}$,

$$[\hat{l}_i,\hat{T}_j\hat{T}_j]=0$$ (105)

Seja $\hat{\vec{T}}$ um operador vetorial. Será útil introduzir um ``operador escada'', da seguinte forma:

$$\hat{\vec{T}}_{+}=\hat{T}_x+i\hat{T}_y$$ (106)

Facilmente se verifica que

$$[\hat{l}_z,\hat{T}_{+}]=\hat{T}_{+}$$ (107)

bem como

$$[\hat{l}_x,\hat{T}_{+}]=-\hat{T}_z$$ (108)

$$[\hat{l}_y,\hat{T}_{+}]=-i\hat{T}_z$$ (109)

Vamos agora calcular o comutador $[\hat{\vec{L}}²,\hat{T}_{+}]$. Lembrando que

$$\hat{\vec{l}}² = \hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2$$

e usando as relações acima, temos, após um pouco de paciência,

$$[\hat{\vec{l}}^2,\hat{T}_{+}]=2[\hat{T}_{+}\hat{l}_z-\hat{T}_z\hat{l}_{+}]+2\hat{T}_{+}$$ (110)

Sejam $Y_{lm}$ as autofunções de $\hat{\vec{l}}^2$ e, em particular, seja $Y_{ll}$ aquela com máximo valor de $m$, para um dado $l$. Vamos mostrar que

$$\hat{T}_{+}Y_{ll}=KY_{l+1,l+1}$$ (111)

onde $K$ é uma constante.


De fato,

$$\hat{\vec{l}}^2 Y_{ll}=l(l+1)Y_{ll}$$ (112)

$$\hat{T}_{+}(\hat{\vec{l}}^2 Y_{ll})=l(l+1) Y_{ll}$$ (113)

Ora, o operador $\hat{T}_{+} \hat{\vec{L}}^2$ pode ser escrito assim:

$$\hat{T}_{+}\hat{\vec{l}}^2 = \hat{T}_{+}\hat{\vec{l}}^2... ...}= [\hat{T}_{+},\hat{\vec{l}}^2]+\hat{\vec{l}}^2\hat{T}_{+}$$ (114)

Logo,a Eq.(113) pode ser escrita

$$[\hat{T}_{+},\hat{\vec{l}}^2]Y_{ll}+ \hat{\vec{l}}^2(\hat{T}_{+}Y_{ll})=l(l+1)Y_{ll}$$ (115)

Usando a Eq.(110),

$$2\hat{T}_z\hat{l}_{+}Y_{ll}-2\hat{T}_{+}\hat{l}_zY_{ll}-2... ...+\hat{\vec{L}}^2(\hat{T}_{+}Y_{ll})=l(l+1)(\hat{T}_{+}Y_{ll})$$ (116)

Como $\hat{l}_{+}Y_{ll}=0$, obtemos sem dificuldade que

$$\hat{\vec{l}}^2(\hat{T}_{+}Y_{ll})=\left(l(l+1)+2l+2\right)(\hat{T}_{+}Y_{ll})$$ (117)

ou, finalmente,

$$\hat{\vec{l}}^2(\hat{T}_{+}Y_{ll})=(l+1)(l+2)(\hat{T}_{+}Y_{ll}$$ (118)

que significa que $\hat{T}_{+}Y_{ll}$ é autofunção de $\hat{\vec{l}}^2$ de autovalor $(l+1)(l+2)$. Logo,

$$\hat{T}_{+}Y_{ll}=KY_{l+1,l+1}$$ (119)

Este resultado mostra que, se determinarmos $Y_{00}$, seremos capazes de construir $Y_{ll}$ para qualquer $l$, sem ter de resolver equações diferenciais. Para determinar $Y_{00}(\theta, \phi)$ note-se que

$$\hat{l}_z Y_{00}(\theta, \phi)=0$$ (120)

e

$$\begin{eqnarray*} \hat{l}_{-}Y_{00} & = & 0\\ \hat{l}_{+}Y_{00} & = & 0 \end{eqnarray*}$$

Daí segue facilmente que

$$\hat{l}_xY_{00} = 0$$ (121)

$$\hat{l}_yY_{00} = 0$$ (122)

Dessas duas e da Eq.(120), segue que

$$\left(1 + \frac{i}{\hbar}\epsilon\hbar \hat{l}_j\right)Y_{00}=Y_{00}$$ (123)

para $j=1,2,3$. Isto quer dizer que $Y_{00}$ é invariante por rotações infinitesimais em torno dos eixos $x$, $y$, $z$, ou seja, é invariante por qualquer rotação infinitesimal. Logo, é esfericamente simétrica, não podendo depender de $\theta$ ou $\phi$. Mas essas são as suas únicas variáveis. Portanto, $Y_{00}$ é constante. A menos de normalização, podemos então tomar

$$Y_{00} = 1$$

Considere o operador vetorial $\hat{\vec{r}}$, e vamos construir o operador $\hat{T}_{+}$ associado a ele, que seria o operador

$$\hat{\vec{r}}_{+}=\hat{x}+i\hat{y}$$

Como os operadores $\hat{x}$ e $\hat{y}$ são multiplicativos, vamos cometer um ligeiro abuso de notação, omitindo a ``casinha''(acento circunflexo, versão chinesa). Assim, escreveremos, sem a menor cerimônia,

$$\vec{r}_{+}=x+iy$$

deixando claro que se trata de operadores. Já que estamos com a mão na massa, vamos estudar, em lugar de $\vec{r}$, o operador $\frac{\vec{r}}{r}$. O operador $\hat{T}_{+}$ associado a ele é

$$\hat{T}_{+}=\frac{x+iy}{r}$$ (124)

Temos, então,

$$\frac{x+iy}{r}.Y_{00}=\frac{x+iy}{r}.1= \frac{x+iy}{r}=KY_{11}(\theta,\phi)$$ (125)

ou seja,

$$Y_{11}(\theta, \phi)= cte.\; \times \frac{x+iy}{r}=cte.\; \times (\sin{\theta}\cos{\phi}+i\sin{\theta}\sin{\phi})$$ (126)

ou ainda,

$$Y_{11}(\theta, \phi)= cte.\;\times \sin{\theta}\exp{(i\phi)}$$ (127)

De uma maneira geral, teremos:

$$Y_{ll}(\theta, \phi)= K \left(\frac{x+iy}{r}\right)^l$$ (128)

Para obter $Y_{lm}$ basta fazer uso do operador $\hat{l}_{-}$.

$$Y_{lm}(\theta, \phi)= K \left(\hat{l}_{-}\right)^{l-m}\left(\frac{x+iy}{r}\right)^l$$ (129)