O espectro contínuo

A equação de Schrödinger de um sistema físico de hamiltoniano $\hat{H}$ é

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi$$

Suponhamos que $\psi$ seja um estado estacionário, ou seja, que

$$\psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

Inserindo-se esta expressão na equação de Schrödinger, obtém-se uma equação para $\psi(\vec{r})$, que é

$$\hat{H}\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r}) \;\;,$$ (43)

conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. Resolvê-la é determinar o par $(\psi(\vec{r}), E)$, onde $E$ é um número. Para exemplificar, vamos tratar um caso muto simples: uma partícula livre, de massa $m$, que se move ao longo do eixo $x$. Neste caso

$$\hat{H} =\frac{\hat{p}^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

e a Eq.(43) é

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \;\;.$$ (44)

Introduzindo

$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

podemos reescrever a equação acima assim:

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}= -k^2\psi \;\;,$$ (45)

cuja solução geral é

$$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$ (46)

com $A$ e $B$ arbitrários. Existe solução para todo $k$, e, como

$$E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m} \;\;,$$

existe solução para todo $E\geq 0$. Diz-se então que o espectro é contínuo. Seja $\hat{O}$ um operador associado a uma quantidade física de espectro contínuo. Escreveremos a equação de autovalores assim:

$$\hat{O} \psi_{f} = O_{f}\psi_{f}$$ (47)

onde o índice $f$ agora varia continuamente. Como veremos mais tarde, as autofunções associadas a um espectro contínuo não são normalizáveis, isto é, não é possível impor para elas a condição

$$\int \vert\psi_{f}\vert^2 dq =1$$

Exemplo: a função de onda de um estado estacionário de uma partícula livre, cuja parte espacial vimos na Eq.(46), é

$$\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)}=Ae^{ikx}e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$ (48)

onde usamos $\omega = \frac{E}{\hbar}$. Então

$$\vert\psi(x,t)\vert^2 = \vert A\vert^2$$

e, por isso,

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \vert\psi(x,t)\vert^2 = \vert A\vert^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty \;\;\;!$$

A seguir vamos descobrir uma maneira de normalizar adequadamente as autofunções ligadas a um espectro contínuo. Seja $\psi$ uma função de onda normalizável. A expansão dela em autofunções da quantidade física $\hat{O}$, cujo espectro é contínuo, é

$$\psi=\int df a_f \psi_f$$ (49)

Queremos que $\vert a_f\vert^2df$ seja a probabilidade de que, efetuada uma medida de $\hat{O}$, o valor obtido esteja entre $f$ e $f+df$. Logo, $\int \vert a_f\vert^2 df =1$. Da mesma forma, $\int dq \vert\psi(q)\vert^2 =1$. Segue que

$$\int a_f^* a_f df = \int \psi^* \psi dq$$ (50)

e, como

$$\psi^* = \int df a_f^* \psi_f^* \;\;,$$ (51)

também que

$$\int a_f^* a_f df = \int\left(\int df a_f^* \psi_f^*\right)\psi dq = \int df a_f^* \int dq \psi_f^* \psi$$ (52)

Comparando o primeiro termo com o último, temos

$$a_f = \int dq \psi_f^* \psi \;\;\;\;(Fourier)$$ (53)

que permite calcular os coeficientes da expansão $\psi=\int df a_f \psi_f$. Rescrevendo a expansão acima como $\psi = \int df^{\prime}a_f^{\prime}\psi_f$ e usando-a na Eq.(53), temos

$$a_f = \int dq \psi_f^*\int df_{\prime}a_{f^{\prime}}\ps... ...f^{\prime} a_{f^{\prime}}\int dq \psi_f^* \psi_{f^{\prime}}$$ (54)

Mas

$$a_f = \int df^{\prime} a_{f^{\prime}}\delta(f-f^{\prime})$$ (55)

Comparando as duas últimas, obtém-se

$$\int dq \psi_f^* \psi_{f^{\prime}} = \delta (f - f^{\prime}$$ (56)

que é a relação de ortogonalidade para autofunções do espectro contínuo. Conseqüentemente, as relações básicas para o espectro contínuo são:

$$\psi = \int df a_f \psi_f$$ (57)

$$\int \psi^* \psi dq = \int df \vert a_f\vert^2$$ (58)

$$a_f = \int dq \psi_f^* \psi$$ (59)

$$\int \psi_f^* \psi_{f^{\prime}} dq = \delta(f - f^{\prime})$$ (60)