Operadores unitários e simetrias

As quantidades observáveis (resultados de medidas) aparecem, na mecânica quântica, sob a forma de produtos escalares de estados,

$$(\psi,\phi)=\int dq \psi(q)^*\phi(q)$$

Um caso particular importante é um ``elemento de matriz'' de um operador $\hat{O}$:

$$\int dq \psi^*(q)\hat{O}\phi(q)$$

Como toda teoria, a mecânica quântica admite transformações ``de linguagem'': por exemplo, quando eu descrevo o mesmo fenômeno usando dois sistemas de eixos ortogonais, obtenho descrições distintas do mesmo fenômeno. Essas descrições devem ser equivalentes, já que representam a mesma coisa de pontos-de-vista distintos. É como se eu descrevesse o mesmo fenômeno em inglês e em alemão: as descrições são diferentes, mas têm o mesmo conteúdo. Como as quantidades físicas são representadas pelos produtos escalares de estados, é importante o estudo dos operadores que conservam os produtos escalares, ou seja, dos operadores $\hat{U}$ que são tais que

$$(\hat{U}\psi, \hat{U}\phi) = (\psi,\phi)$$ (61)

ou, mais explicitamente,

$$\int dq \psi(q)^* \phi(q) = \int dq (\hat{U}\psi(q))^* \hat{U}\phi(q)$$ (62)

Um operador linear é unitário, por definição, se

$$\hat{U}\hat{U}^+ = \hat{U}^+\hat{U}=1$$ (63)

Seja $\hat{U}$ um operador unitário e considere as transformações de funções de onda:

$$\begin{eqnarray*} \psi^{\prime}(q) & = & \hat{U}\psi(q)\\ \phi^{\prime}(q) & = & \hat{U}\phi(q) \end{eqnarray*}$$

Então,

$$\int dq \psi^{\prime *}\phi^{\prime}=\int dq \left(\hat{U}... ...phi= \int dq \psi^*\hat{U}^+\hat{U}\phi = \int dq \psi^*\phi$$

o que mostra que uma transformação implementada por um operador unitário conserva os produtos escalares. Mais detalhadamente, considere o produto escalar

$$\left(\psi, \hat{O}\phi\right)=\int dq \psi^*(q)\hat{O}\phi(q)$$

Sejam

$$\begin{eqnarray*} \psi^{\prime}(q) & = & \hat{U}\psi(q)\\ \left(\hat{O}\psi(q)\right)^{\prime} & = & \hat{U}\left( \hat{O}\phi(q)\right) \end{eqnarray*}$$

Podemos escrever

$$\left(\hat{O}\phi(q)\right)^{\prime}=\hat{U}\hat{O}\phi(q)=... ...phi(q)= \left(\hat{U}\hat{O}\hat{U}^*\right)\phi^{\prime}(q)$$

Logo,

$$\left(\psi^{\prime},(\hat{O}\phi)^{\prime}\right)= \int dq ... ...t) =\int dq \psi^*\hat{O}\phi=\left(\psi, \hat{O}\phi\right)$$

Podemos interpretar este resultado assim: considere as transformações

$$\begin{eqnarray*} \psi \rightarrow \psi^{\prime} & = & \hat{U}\psi\\ \phi \ri... ...t{O} \rightarrow \hat{O}^{\prime} & = & \hat{U}\hat{O}\hat{U}^+ \end{eqnarray*}$$

Então, temos:

$$\int dq \psi^{\prime *}(q)\hat{O}^{\prime}\phi^{\prime}(q) = \int dq \psi^*(q)\hat{O}\phi(q)$$

onde $\hat{O}^{\prime}\equiv \hat{U}\hat{O}\hat{U}^+$ é a transformação de $\hat{O}$ pela ação do operador linear $\hat{U}$. Diz-se que um operador $\hat{O}$ é invariante por uma transformação unitária $\hat{U}$ se

$$\hat{U}\hat{O}\hat{U}^+ = \hat{O}$$

ou, equivalentemente, se

$$\hat{O}\hat{U}=\hat{U}\hat{O}$$ (64)