Integral de Fourier

A integral de Fourier é instrumento fundamental na mecânica quântica. Trata-se de uma extensão das séries de Fourier que permite obter expansões de funções que não são periódicas. Este não é o lugar para se adquirir fluência no uso, e uma boa compreensão dos métodos da análise de Fourier. O leitor deverá dedicar algum estudo a este tópico, presente em todos os livros de física-matemática. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, Partial Differential Equations of Physics. Um belíssimo livro de matemática sobre este mesmo tema, é Körner, Fourier Analysis, um dos livros mais bonitos que já li. A integral, ou transformada, de Fourier de uma função $f(x)$, é uma função $\tilde{f}(k)$ a ela ligada pelas relações

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}dk \tilde{f}(k) e^{ikx}$$ (41)

$$\tilde{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}$$ (42)

Pode-se verificar a consistência dessas relações com o uso da funçao $\delta(x)$:

$$\begin{eqnarray*} f(x) & = & \int_{-\infty}^{\infty}dk\left(\frac{1}{2\pi} \in... ...k(x-y)}\\ & = & \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\delta(x-y) = f(x) \end{eqnarray*}$$

A transformada de Fourier de uma função constante, $f(x) = K$, é:

$$\tilde{f(k)} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx K e^... ...\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-ikx} = K\delta(x)$$

ou seja, a transformada de Fourier de uma constante é um múltiplo de $\delta(x)$. Um outro resultado importante é a transformada de Fourier de uma gaussiana: seja $f(x) = \exp{^{-\alpha x^2}}$. Sua transformada de Fourier é

$$\tilde{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{k^2}{4\alpha}}$$

ou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana.