Simetria esférica

Considere a seguinte solução da equação do eikonal, dotada de simetria esférica:

$$S=nr$$ (26)

onde $n=\vert\vec{n}\vert$ e $r=\vert\vec{r}\vert$. Temos $\vec{\nabla} S=n \vec{\nabla} r= n\frac{\vec{r}}{r}$ e, portanto, $\vec{\nabla} S. \vec{\nabla} S=n^2$. As superfícies $S=cte.$ são, neste caso, as superfícies $r=cte.$, ou seja, as frentes de onda são superfícies esféricas com centro na origem. Para que se trate verdadeiramente de uma solução da equação do eikonal, é preciso ainda que a Eq.(16) seja satisfeita:

$$\vec{\nabla} \log{A}.\vec{\nabla} S=-\frac{1}{2}\vec{\nabla}^2S$$ (27)

Ora,

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} .\vec{\nabla} S & & =\vec{\nabla} .(n\frac{\vec{... ...r}}{r^3})\}=n\{\frac{3}{r}-\frac{1}{r}\}\\ & = & \frac{2n}{r} \end{eqnarray*}$$

ou

$$\vec{\nabla}^2S=\frac{2n}{r}$$ (28)

É necessário então que

$$\vec{\nabla} \log{A}.\vec{\nabla} S=-\frac{n}{r}$$

ou, que

$$\vec{\nabla} \log{A}.n\frac{\vec{r}}{r}=-\frac{n}{r}$$

Segue então que

$$\vec{\nabla} \log{A}.\vec{r}=-1$$

Portanto,

$$\vec{\nabla} \log{A}=-\frac{\vec{R}}{r^2}$$ (29)

Mas $\vec{\nabla} \log{A}=\frac{1}{A}\vec{\nabla}A=-\frac{\vec{r}}{r^2}$ e, conseqüentemente,

$$A=\frac{1}{r}$$ (30)

Podemos então contruir a onda $u=Ae^{ik_0S}$(ver Eq.(6)).

$$u=\frac{1}{r}e^{ik_0nr}=\frac{1}{r}e^{ikr}=e^{i\sqrt{\epsilon\mu} \frac{\omega}{c}r}$$ (31)

que é a parte espacial de uma onda esférica.