A equação do eikonal

Vamos procurar soluções da forma

$$u=Ae^{ik_0S}$$ (6)

com $k_0=\frac{\omega}{c}$, onde $A$ e $S$ são funções de $x,y,z$ que variam lentamente e que não tendem a $\infty$ quando $k_0$ cresce.

$$\frac{\partial u}{\partial x}=(ik_0u\frac{\partial S}{\partial x}+ u\frac{\partial \log{A}}{\partial x})$$ (7)

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \{-k_0^2u(\frac{\partial S} {\partial x})^2=ik_0u\frac{\log{A}}{\... ...partial x}\frac{\partial S}{\partial x} +ik_0u\frac{\partial^2S}{\partial x^2}+$$ (8)

$$+ ik_0u\frac{\partial S}{\partial x}\frac{\partial \log{A}}{\partial x}+u(\frac{\partial\log{A}}{\partial x})^2 +$$

$$+ u\frac{\partial^2\log{A}}{\partial x^2}\}$$

com termos análogos para as derivadas em $y$ e $z$. Assim, temos

$$\vec{\nabla}^2u = \{-k_0^2u[(\frac{ \partial S}{\partial x})^2 + (\frac{ \partial S}{\partial y})^2 +(\frac{ \partial S}{\partial z})^2 ] +$$ (9)

$$+ 2ik_0u(\frac{ \partial\log{A}}{ \partial x}\frac{ \partial S} { \... ...rtial y}+\frac{ \partial\log{A}}{ \partial z}\frac{ \partial S} { \partial z})+$$

$$+ ik_0u(\frac{ \partial^2 S}{\partial x^2} + \frac{ \partial^2 S}{\partial y^2}+\frac{ \partial^2 S}{\partial z^2})+$$

$$+ u[(\frac{ \partial\log{A}}{\partial x})^2 + (\frac{ \partial\log{A}}{\partial y})^2+ (\frac{ \partial\log{A}}{\partial z})^2] +$$

$$+ u(\frac{\partial^2\log{A}}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\log{A}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\log{A}}{\partial z^2})\}$$

Isto pode ser abreviado assim:

$$\vec{\nabla}^2=-k_0^2u\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S+2ik_0u \... ...vec{\nabla}\log{A}.\vec{\nabla}\log{A}+u\vec{\nabla}^2\log{A}$$ (10)

Logo, a equação fica:

$$k^2=k_0^2\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S-2ik_0\vec{\nabla}\log{... ...ec{\nabla}\log{A}. \vec{\nabla}\log{A}-\vec{\nabla}^2\log{A}$$ (11)

ou ainda,

$$\frac{k^2}{k_0^2}=\vec{\nabla} S. \vec{\nabla} S- \frac{2i... ...}. \vec{\nabla}\log{A}-\frac{1}{k_0^2} \vec{\nabla}^2\log{A}$$ (12)

No limite $k_0\rightarrow\infty$, temos

$$\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S=n^2$$ (13)

e

$$\frac{2i}{k_0}(\vec{\nabla}\log{A}.\vec{\nabla}S+\frac{1}{2} \vec{\nabla}^2S)=0$$ (14)

de maneira que as equações são:

$$\vec{\nabla}\log{A}.\vec{\nabla}S = -\frac{1}{2}\vec{\nabla}^2S$$ (15)

$$\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S = n^2$$ (16)

que são as equações básicas da ótica geométrica.¹