Multiplicadores de Lagrange

A receita para achar os pontos de máximo é igualar a zero todas as derivadas parciais. Se não houvesse vínculos, isto seria o mesmo que impor $df=0$, onde $df$, o diferencial da função $f$, é dado por

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy +\frac{\partial f}{\partial z}dz$$ (6)

Uma vez eliminado $z$ por meio do vínculo, temos, em lugar desta última, a equação

$$dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy =0$$ (7)

ou seja, não aparece mais o diferencial $dz$, indicando que a função $F$ não depende de $z$. O método de Lagrange oferece uma técnica mais eficiente e simétrica para eliminar a dependência em $z$, ou seja, para se livrar do termo em $dz$ na expressão do diferencial da função cujos máximos se procura.

Considere o diferencial da função $f$:

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy +\frac{\partial f}{\partial z}dz$$ (8)

e, como $g(x,y,z)=0$, temos

$$dg=\frac{\partial g}{\partial x}dx + \frac{\partial g}{\partial y}dy +\frac{\partial g}{\partial z}dz =0$$ (9)

Sejs $\lambda$ um número qualquer, de valor a ser determinado posteriormente. Adicionemos a $df$ a quantidade $\lambda dg$, que é zero. Logo,

$$df = df + \lambda dg$$

Portanto, podemos escrever

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\part... ... f}{\partial z}+\lambda \frac{\partial g}{\partial z}\right)dz$$ (10)

Mas, como $\lambda$ é indeterminado, podemos determiná-lo agora impondo que o coeficiente de $dz$ na expressão anterior seja nulo, ou seja, que

$$\frac{\partial f}{\partial z}+\lambda \frac{\partial g}{\partial z}=0$$ (11)

Com isso, temos agora um $df$ independente de $z$, e podemos localizar seus pontos de máximo impondo que $df=0$, ou, mais precisamente, que $df + \lambda dg=0$. Mas isso dá as condições

$$\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial g}{\partial x} = 0$$ (12)

$$\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial g}{\partial y} = 0$$ (13)

Como, adicionalmente, temos a condição dada pela Eq.(11), notamos que o conjunto das equações que determinam os pontos de máximo (bem como o valor de $\lambda$) é obtido da seguinte maneira: igualem-se a zero as derivadas parciais da função

$$f + \lambda g$$ (14)

A generalização é imediata. Seja $f(x,y,z,u,v)$ a função cujos pontos de máximo queremos localizar, e sejam $g(x,y,z,u,v)=0$ e $h(x,y,z,u,v)=0$ condições subsidiárias. Então igualam-se a zero as derivadas parciais da função

$$f + \lambda_1 g + \lambda_2 h$$ (15)

onde $\lambda_1$ e $\lambda_2$ são coeficientes a determinar. Se houver $n$ condições subsidiárias $g_i=0$, igualem-se a zero as derivadas parciais da função

$$f + \sum_i \lambda_i g_i$$ (16)

Os $\lambda_i$ são denominados multiplicadores de Lagrange.