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Exemplo simples

Voltemos ao problema do paralelepípedo e vamos resolvê-lo pelo método de Lagrange. A função cujos máximos procuramos é $f(x,y,z)=xyz$; o vínculo é $g(x,y,z)=xy+yz+xz-K=0$. Logo, temos de igualar a zero as derivadas parciais da função $f+\lambda g$. Um cálculo simples leva a
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial
g}{\partial x}$ $\textstyle =$ $\displaystyle yz + \lambda (y+z) = 0$ (17)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial
g}{\partial y}$ $\textstyle =$ $\displaystyle xz + \lambda(x+z) = 0$ (18)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}+\lambda \frac{\partial g}{\partial z}$ $\textstyle =$ $\displaystyle xy +\lambda(x+y) = 0$ (19)

Das duas primeiras temos

\begin{displaymath}
yz + \lambda(y+z) = xz +\lambda(x+z)
\end{displaymath}

de onde segue imediatamente que $x=y$. Das duas últimas, analogamente, segue que $y=z$. Logo, $x=y=z$, e se trata de um cubo. Note-se que não foi sequer necessário calcular $\lambda$. Assim, mesmo neste caso muito simples, é vantajoso usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Henrique Fleming 2003-09-24