Exemplo simples

Voltemos ao problema do paralelepípedo e vamos resolvê-lo pelo método de Lagrange. A função cujos máximos procuramos é $f(x,y,z)=xyz$; o vínculo é $g(x,y,z)=xy+yz+xz-K=0$. Logo, temos de igualar a zero as derivadas parciais da função $f+\lambda g$. Um cálculo simples leva a

$$\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial g}{\partial x} = yz + \lambda (y+z) = 0$$ (17)

$$\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial g}{\partial y} = xz + \lambda(x+z) = 0$$ (18)

$$\frac{\partial f}{\partial z}+\lambda \frac{\partial g}{\partial z} = xy +\lambda(x+y) = 0$$ (19)

Das duas primeiras temos

$$yz + \lambda(y+z) = xz +\lambda(x+z)$$

de onde segue imediatamente que $x=y$. Das duas últimas, analogamente, segue que $y=z$. Logo, $x=y=z$, e se trata de um cubo. Note-se que não foi sequer necessário calcular $\lambda$. Assim, mesmo neste caso muito simples, é vantajoso usar o método dos multiplicadores de Lagrange.