Um exemplo simples

Seja $f(x,y,z)$ a função da qual queremos saber os máximos e mínimos, e seja

$$g(x,y,z)=0$$ (1)

a condição subsidiária. No problema citado acima, teríamos

$$f(x,y,z)=xyz$$ (2)

e $g(x,y,z)=0$ seria dada por

$$xy+yz+zx-K=0$$ (3)

Desta última relação segue que

$$z=\frac{K-xy}{x+y}$$ (4)

que, levada à Eq.(2), dá:

$$F(x,y)=f(x,y,z(x,y))=xy\frac{K-xy}{x+y}$$ (5)

A solução é obtida agora igualando a zero as derivadas parcias $\frac{\partial F}{\partial x}$ e $\frac{\partial F}{\partial y}$, que são

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} & = & \frac{y^2}{(x+y)^2}\{K-2xy... ...c{\partial F}{\partial y} & = & \frac{x^2}{(x+y)^2}\{K-2xy-y^2\} \end{eqnarray*}$$

Igualadas a zero, obtemos as equações

$$\begin{eqnarray*} 2xy+x^2 & = & K\\ 2xy+y^2 & = & K \end{eqnarray*}$$

de onde se conclui que $x=y$ e que $K = 3x^2$. Logo, temos também $x=z$, ou seja, o paralelepípedo de volume máximo, para área dada, é o cubo (existem soluções para o volume mínimo. Quais são?).