O dipolo de Hertz

A personalidade dominante neste tópico é o grande Heinrich Hertz. As ondas de radio eram conhecidas, pelos que falam difícil (como os locutores esportivos...) como ondas hertzianas. Segue-se uma pequena biografia que copiei do livro de Sommerfeld, Electrodynamics. É parte de uma coleção de física teórica, de 6 volumes, todos esplêndidos, e de leitura deliciosa, pela riqueza de comentários humanos e práticos que o orientador de Heisenberg, Pauli, Bethe, etc, gostava de incluir no texto.


Heinrich Hertz (1857-1894): he was born in Hamburg the son of a respected merchant family; his father was in later years Senator of the Free City. Initially his great modesty prevented Heinrich Hertz from entering the career of a scholar; instead, he turned to engineering at the Technische Hochschule in Munich. Soon, however, he begged his father to permit him to transfer to pure physics. He studied first in Munich, then in Berlin, and became the favorite student and assistant of Helmholtz. A prize problem set up by Helmholtz directed him to the testing of Maxwell's theory. After a short term as a Privatdozent in Kiel he was called to the Technische Hochschule in Karlsruhe. Even the earliest papers of Hertz show his mastery in relating theory and experiment. Several of them received the warm recognition of his colleagues, as his quantitative determination of hardness among engineers, and his description of the condensation processes in rising air currents among meteorologists. His years in Karlsruhe, from 1885 to 1889, represent the high point in his creative activity. We mention in particular his paper of 1888, Forces of electrical oscillations treated by Maxwell's theory. It is amazing how much of the later development of radio telegraphy has been anticipated in this paper. He is also the discoverer of the photoelectric effect, explained later by Einstein in terms of photons, conceived then for the first time.

Trata-se de estudar a radiação eletromagnética produzida por uma fonte oscilante localizada: um dipolo oscilante. Uma carga $-e$ está localizada na origem; uma carga $+e$ oscila, em torno da origem, sendo $\vec{s}(t)$ seu vetor de posição. Então, no momento $t$, o momento elétrico de dipolo é

$$\vec{p}(t)=e\vec{s}(t)$$ (15)

Em termos da notação usada na seção anterior, $\vec{s}(t)=\vec{R}(t)$. Além disso,

$$\frac{d\vec{p}(t)}{dt}=e\frac{d\vec{s}}{dt}=e\vec{v}(t)$$ (16)

Podemos, portanto, construir imediatamente os potenciais. Usando a Eq.(14) obtemos

$$\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{\dot{\vec{p}}(t_0)}{c\left(\vert\v... ...ac{\vec{v}(t_0)}{c}.\left(\vec{R}(t_0)-\vec{r}\right)\right)}$$ (17)

com uma expressão análoga para $\phi$. Vamos considerar o caso em que

$$\vec{s}(t)=\vec{s}(0)\sin{\omega t}$$ (18)

ou seja,

$$\vec{p}(t)=\vec{p}_0\sin{\omega t}$$

que dá

$$\dot{\vec{p}}(t)=\omega \vec{p}_0\cos{\omega t}$$ (19)

No movimento da carga positiva, a velocidade máxima alcançada é $v=\omega s$, onde $s$ é a sua distância máxima à origem. Então,

$$\frac{v}{c}=\frac{\omega s}{c}=\frac{2 \pi s}{\lambda}$$ (20)

Supondo $\frac{v}{c}\ll 1$ devemos então ter $\vert\vec{s}\vert\ll \lambda$ Vamos adotar esta aproximação, chamada aproximação de ondas longas. Suporemos, além disso, que $\vert\vec{r}\vert\gg \vert\vec{R}(t_0)\vert$, ou seja, que estamos observando o potencial em pontos distantes da região ocupada pelo dipolo. Nestas condições,

$$\vert\vec{R}(t_0)-\vec{r}\vert+\frac{\vec{v}(t_0)}{c}.\left( \vec{R}(t_0)-\vec{r}\right) \approx r$$ (21)

e

$$t_0=t-\frac{r}{c}$$ (22)

Logo,

$$\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{\dot{\vec{p}}(t_0)}{cr} =\frac{\dot{\vec{p}}(t-\frac{r}{c})}{cr}$$ (23)

O cálculo de $\phi(\vec{r},t)$ é delicado, pois temos de manter a mesma ordem de aproximação. A maneira mais simples de fazer isso é usar a condição de Lorentz, $div \;\vec{A}+\frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t}=0$. Temos, então,

$$\frac{\partial\phi}{\partial t}=-div\;\frac{ \dot{\vec{p}}(t-\frac{r}{c})}{r}$$ (24)

Logo,

$$\phi(\vec{r},t)=-div\;\frac{\vec{p}(t-\frac{r}{c})}{r}$$ (25)

Ora¹,

$$div\frac{\vec{p}(t-\frac{r}{c})}{r}= \frac{1}{r}div\;\vec{p}(t-\frac{r}{c})+grad\frac{1}{r}\;.\; \vec{p}(t-\frac{r}{c})$$ (26)

Mas,

$$div\;\vec{p}(t-\frac{r}{c})=-\frac{1}{cr}\vec{r}. \dot{\vec{p}}(t-\frac{r}{c})$$ (27)

logo,

$$div\;\frac{\vec{p}(t-\frac{r}{c})}{r}=-\frac{1}{cr^2}\vec{r... ...( t-\frac{r}{c})-\frac{1}{r^3}\vec{r}.\vec{p}(t-\frac{r}{c})$$ (28)

Concluíndo,

$$\phi(\vec{r},t) = \frac{\dot{\vec{p}}.\vec{r}}{r^2 c}+\frac{\vec{p}.\vec{r}} {r^3}$$ (29)

$$\vec{A}(\vec{r},t) = \frac{\dot{\vec{p}}}{rc}$$ (30)

Pondo, em particular,

$$\vec{p}=\vec{p}_0\sin{\omega t}$$ (31)

tem-se

$$\dot{\vec{p}}=\omega\vec{p}_0\cos{\omega t}$$ (32)

e

$$\phi(\vec{r},t)=\frac{\omega \vec{p}_0.\vec{r}}{cr^2} \cos... ...)}+\frac{\vec{p}_0.\vec{r}} {r^3}\sin{\omega(t-\frac{r}{c})}$$ (33)

e

$$\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{\omega \vec{p}_0}{cr}\cos{\omega(t-\frac{r}{c})}$$ (34)

Suponhamos que $r\gg \lambda$ (zona de radiação). Então,

$$\frac{\omega r}{c}=\frac{2\pi r}{\lambda} \gg 1$$ (35)

Na expressão para $\phi$, a relação do primeiro termo para o segundo é da ordem de $\frac{\omega r}{c}$, logo, para $r\gg \lambda$, o primeiro termo é dominante. Então,

$$\phi(\vec{r},t) = \frac{\omega \vec{p}_0.\vec{r}}{cr^2}\cos{\omega (t-\frac{r}{c})}$$ (36)

$$\vec{A}(\vec{r},t) = \frac{\omega \vec{p}_0}{cr}\cos{\omega(t- \frac{r}{c})}$$ (37)

No problema há três escalas de distância: $\vert\vec{R}\vert$, $\lambda$ e $r$. Estamos sempre supondo que $\vert\vec{R}\vert\ll \lambda$. Restam então duas possibilidades a analisar: a primeira, já vista, é quando $r\gg \lambda$, que é a chamada zona de onda, ou zona de radiação. A segunda corresponde a $r\ll \lambda$ (mas ainda com $r\gg \vert\vec{R}\vert$). Neste caso, temos que

$$\phi(\vec{r},t) = \frac{\vec{p}_0.\vec{r}}{r^3}\sin{\omega(t- \frac{r}{c})}$$ (38)

$$= \frac{\vec{p}_0.\vec{r}}{r^3}\left(\sin{\omega t} \cos{\frac{\omega r}{c}}-\cos{\omega t}\sin{\frac{\omega r}{c}}\right)$$ (39)

$$\approx \frac{\vec{p}_0.\vec{r}}{r^3}\sin{\omega t}$$ (40)

que é o potencial estático de um dipolo com momento variável. Os campos obtidos são os campos estáticos

$$\vec{E} = -\frac{\vec{p}}{r^3}+\frac{3(\vec{p}.\vec{r})\vec{r}}{r^5}$$ (41)

$$\vec{B} = \frac{\dot{\vec{p}}\times\vec{r}}{r^3}$$ (42)

Na zona de radiação tudo é bem diferente:

$$\vec{E} = \frac{1}{c^2}\{-\frac{\ddot{\vec{p}}}{r}+ \frac{(\ddot{\vec{p}}.\vec{r})\vec{r}}{r^3}\}$$ (43)

$$= \frac{\vec{n}\times\left(\vec{n}\times\frac{\ddot{\vec{p}}}{r}\right)} {c^2}$$ (44)

$$\vec{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\ddot{\vec{p}}\times\vec{r}}{r^2}$$ (45)