Os potenciais de Liénard-Wiechert

Queremos calcular agora o potencial de uma carga puntiforme de valor $e$ cuja posição, variável com o tempo, é descrita pelo vetor $R(t')$. Logo,

$$\rho(\vec{r}', t')=e\delta\left(\vec{r}'-\vec{R}(t')\right)$$ (5)

e a expressão para $\phi$ fica

$$\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r}'\int dt' e\delta\left(\v... ...ec{r} -\vec{r}'\vert}{c}\right)}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}$$ (6)

A integração em $\vec{r}'$ é imediata, dando

$$\phi(\vec{r},t)=e\int dt' \frac{\delta\left(t-t'-\frac{\ver... ...-\vec{R}(t')\vert}{c}\right)}{\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}$$ (7)

Resta calcular a integral em $t'$, o que passamos a fazer. O integrando possui uma $\delta\left(t-t'-\frac{\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}{c}\right)$ que é da forma geral $\delta\left(f(t')\right)$, com

$$f(t')=t-t'- \frac{\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}{c}$$ (8)

Seja $t_0$ o valor de $t'$ tal que

$$t-t_0-\frac{\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert}{c}=0$$ (9)

A fórmula a ser usada é

$$\delta\left(f(t)\right)=\left(\frac{1}{\vert\frac{df}{dt}\vert}\right)_{t=t_0}\delta(t-t_0)$$ (10)

Realizamos este cálculo no Apêndice. O resultado é:

$$\delta\left(f(t')\right)=\left(\frac{1}{\vert 1-\frac{\vec{... ...ert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}\vert}\right)_{t_0}\delta(t'-t_0)$$ (11)

onde introduzimos a notação $\vec{v}(t')=\frac{d\vec{R}}{dt'}$. Levando este resultado à Eq.(7), temos

$$\phi(\vec{r}, t)=e\int dt'\frac{\delta(t'-t_0)}{ \vert\vec... ...c{\vec{r}-\vec{R}(t')}{\vert\vec{r} -\vec{R}(t')\vert}\vert}$$ (12)

ou,

$$\phi(\vec{r},t)=\frac{e}{\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)-\frac{\vec{v}}{c}.( \vec{r}-\vec{R}(t_0))\vert}$$ (13)

Um cálculo análogo dá

$$\vec{A}(\vec{r}, t)= \frac{e(\vec{v}(t_0)/c)}{\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)-\frac{\vec{v}}{c}.( \vec{r}-\vec{R}(t_0))\vert}$$ (14)

As Eqs.(13) e (14) são os potenciais de Liénard- Wiechert: são os potenciais eletromagnéticos de uma carga puntiforme com movimento arbitrário, sua posição sendo descrita pela função vetorial $\vec{R}(t)$. São resultados muito importantes, por sua generalidade. Vamos fazer uso deles para estudar, a seguir, o dipolo oscilante de Hertz. O cálculo dos campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ correspondentes às Eqs.(13) e (14) é um tanto complicado. Por isso, será feito no Apêndice. O leitor interessado fará bem em estudar também essa parte, pois contém a demonstração de um fato muito importante: uma carga acelerada irradia.