A função de Green retardada

A função de Green retardada é o potencial criado por uma fonte de intensidade 1, puntiforme ``no espaço e no tempo'', isto é, uma carga puntiforme que existe só num instante $t'$, na posição $\vec{r}'$. Como vimos, este potencial é

$$G(\vec{r}-\vec{r}',t-t')=\frac{\delta\left(t-t'-\frac{\vert\vec{r} -\vec{r}'\vert}{c}\right)}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}$$ (1)

As expressões para os potenciais em termos da função de Green são:

$$\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r}'\int dt'G(\vec{r}-\vec{r}', t-t')\rho(\vec{r}',t')$$ (2)

$$\vec{A}(\vec{r},t) = \frac{1}{c}\int d^3\vec{r}'\int dt' G(\vec{r}-\vec{r}',t-t')\vec{j}(\vec{r}',t')$$ (3)

Consideremos, por exemplo, o potencial escalar $\phi$. Usando a Eq.(1) na Eq.(3), temos

$$\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r}'\int dt' \rho(\vec{r}',t... ...ec{r} -\vec{r}'\vert}{c}\right)}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}$$ (4)