Funções de Green

Seja $L$ um operador diferencial linear e considere a equação diferencial

$$L \phi(\vec{r})=-4\pi s(\vec{r})$$ (12)

onde $s$ é uma função dada, denominada fonte e $\phi$ é a função incógnita. Denomina-se função de Green do operador linear $L$, a função $G(\vec{r}-\vec{r'})$ tal que

$$L G(\vec{r}-\vec{r'}) = -4\pi \delta(\vec{r}-\vec{r'})$$ (13)

com condições de contorno definidas pelo particular problema. Uma vez determinada a função de Green, a Eq. 12 pode ser resolvida facilmente. De fato, vamos mostrar que

$$\phi(\vec{r})=\int d^3\vec{r'} G(\vec{r}-\vec{r'})s(\vec{r'})$$ (14)

é solução de 12. Basta aplicar o operador $L$ à 14. Temos

$$L\phi(\vec{r})=\int d^3\vec{r'}LG(\vec{r}-\vec{r'})s(\vec{r... ...'}(-4\pi\delta(\vec{r}-\vec{r'}))s(\vec{r'})=-4\pi s(\vec{r})$$ (15)

Para um exemplo, considere o operador linear Laplaceano, $\vec{\nabla}^2$ . Na Eq. 10 lemos que $\frac{1}{\vert\vec{r}- \vec{r'}\vert}$ é precisamente a função de Green. De fato, o método usado acima para construir a solução da equação de Poisson é exatamente o método da função de Green, que acabamos de descrever.


George Green foi um físico-matemático de primeira grandeza, embora tenha sido sempre um amador, e nunca tenha tido qualquer diploma universitário. Seu pai era dono de um moinho, trabalhava duro e achava que esse negócio de física- matemática era coisa de ...Deixa prá lá! Estudando por conta própria Green descobriu praticamente todos os métodos matemáticos da teoria de campos, entre os quais a função de Green e os potenciais $\phi$ e $\vec{A}$. Publicou, em pequena tiragem, por conta própria, suas descobertas em um tratado, que se tornou obra ambicionadíssima e rara, naqueles tempos sem xerox. Quando o jovem William Thomson, depois Lord Kelvin, visitou Paris, havia uma fila de físicos e matemáticos eminentes querendo ter uma entrevista com aquele jovem quase desconhecido. O que eles queriam era tomar emprestado o tratado de Green, do qual Kelvin era o feliz possuidor de uma cópia.