Aplicação: solução da equação de Poisson

No nosso estudo da eletrostática obtivemos a seguinte equação para o potencial escalar (equação de Poisson):

$$\vec{\nabla}^2\phi(\vec{r})=-4\pi\rho(\vec{r})$$ (8)

Usando o princípio de superposição tínhamos a seguinte expressão para o potencial, em termos da densidade de carga:

$$\phi(\vec{r})=\int d^3 \vec{r'}\frac{\rho(\vec{r'})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (9)

É intuitivo que 9 seja a solução de 8 (para densidades de carga que tendam a zero a grandes distâncias). Vamos mostrar agora que isto é efetivamente verdade. Note-se que, pela definição de $\delta(\vec{r})$,

$$\vec{\nabla}^2\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert} = - 4\pi \delta(\vec{r}-\vec{r'})$$ (10)

Vamos mostrar que 9 satisfaz efetivamente a 8. Aplicando o operador $\vec{\nabla}^2$ à 9, temos

$$\vec{\nabla}^2\phi(\vec{r})=\int d^3\vec{r'}\vec{\nabla}^2(... ...delta(\vec{r} -\vec{r'})\rho(\vec{r'})) = -4\pi\rho(\vec{r})$$ (11)

que é o que se queria provar. Neste cálculo é essencial o fato de que $\vec{\nabla}^2$ atua somente sobre a variável $\vec{r}$, e não sobre a $\vec{r'}$.