A função delta de Dirac

A chamada função delta de Dirac foi introduzida pelo grande Paul Dirac para simplificar o tratamento de certos problemas da mecânica quântica. Aqui vamos adaptar o formalismo ao eletromagnetismo. Não se trata de matemática rigorosa, e sim de uma abreviação, muito intuitiva e eficaz, da teoria das distribuições de Laurent Schwartz. O feito de Schwartz, que lhe valeu a medalha Fields (mais ou menos o prêmio Nobel de matemática), foi transformar as idéias geniais de Dirac em matemática ``politicamente correta'', bem como ampliar enormemente suas aplicações a outros ramos da matemática, pura e aplicada.¹ Definimos a função delta assim:

$$\delta(\vec{r})=-\frac{1}{4\pi}\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}$$ (1)

Em consequência da definição, temos

$$\int dV \delta(\vec{r})=1$$ (2)

De fato,

$$\begin{eqnarray*} \int dV \delta(\vec{r}) & = & -\frac{1}{4\pi}\int dV \vec{\na... ...ec{r}}{r}.\vec{n}dS=\frac{1}{4\pi r^2} \int_S r^2 d\Omega = 1 \end{eqnarray*}$$

Da definição segue imediatamente que

$$\delta(\vec{r}) = 0 \,\,\,\,\,\,\, para \,\,\, \vec{r}\neq 0 \,\,.$$

A mais importante propriedade da $\delta$ é a seguinte:

$$\int dV \delta(\vec{r})f(\vec{r}) = f(\vec{0})$$ (3)

Demonstração: na primeira integral de 3 , o único valor de $f(\vec{r})$ que interessa é $f(\vec{0})$, já que, para qualquer outro valor de $\vec{r}$, o produto $\delta(\vec{r})f(\vec{r})$ é zero. Logo,$f(\vec{r})$ pode ser substituída pela função constante $f(\vec{0})$ sem mudar o valor da integral. Então,

$$\int dV \delta(\vec{r})f(\vec{r}) = \int dV \delta(\vec{r})f(\vec{0}) = f(\vec{0})\int dV \delta(\vec{r}) = f(\vec{0})$$

Mais geralmente, temos:

$$\delta(\vec{r}-\vec{r'}) = -\frac{1}{4\pi}\vec{\nabla}^2\frac{1}{\vert\vec{r} -\vec{r'}\vert}$$ (4)

$$\int dV \delta(\vec{r}-\vec{a})f(\vec{r}) = f(\vec{a})$$ (5)

$$\int dV \delta(\vec{r}-\vec{a}) = 1$$ (6)

$$\delta(\vec{r}-\vec{r'}) = \delta(\vec{r'}-\vec{r})$$ (7)

Uma demonstração quase física da Eq. 6 é obtida assim:

$$\int dV \delta(\vec{r}-\vec{r'})=-\frac{1}{4\pi}\int dV \ve... ...{\nabla}. \vec{\nabla}(\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert})$$

$$= \frac{1}{4\pi}\int dV \vec{\nabla} . (\frac{\vec{r-r'}}{\... ...ec{\nabla} .\vec{E} =\frac{1}{4\pi}\int_S \vec{E}.\vec{n} dS$$

onde $\vec{E}= \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert^3}$ é o campo elétrico de uma carga unitária localizada em $\vec{r'}$. Logo, pelo teorema de Gauss,

$$\frac{1}{4\pi}\int dS \vec{E}.\vec{n} = 1$$

Conclui-se, então, que $\int dV \delta(\vec{r}-\vec{r'}) = 1$ .²