Campo elétrico paralelo

Quando o campo elétrico é paralelo ao plano de incidência, o campo magnético é perpendicular. Os vetores de polarização relevantes são mostrados na figura abaixo.

Neste caso as condições de contorno se escrevem

$$\vec{n}.(a_1\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1+a_1'\sqrt{\epsilon_1} \vec{e}_1'-a_2\sqrt{\epsilon_2}\vec{e}_2) = 0$$ (50)

$$\vec{n}\times(a_1\frac{1}{\sqrt{\epsilon_1}}\vec{e_1}+ a_1'\frac{1}{\sqrt{\epsilon_1}}\vec{e}_1'-a_2\frac{1}{\sqrt{\epsilon_2}} \vec{e_2}) = 0$$ (51)

de onde sai (veja a figura)

$$a_1 \sqrt{\epsilon_1}\sin{\theta_1}+a_1' \sqrt{\epsilon_1}\sin{\theta_1} -a_2 \sqrt{\epsilon_2} \sin{\theta_2}=0$$ (52)

$$a_1\frac{1}{ \sqrt{\epsilon_1} }\cos{\theta_1}-a_1'\frac{1} ... ...os{\theta_1}-a_2\frac{1}{ \sqrt{\epsilon_2}} \cos{\theta_2}=0$$ (53)

Multiplicando a Eq.(52)por $\frac{1}{\sqrt{\epsilon_1}}\cos{\theta_1}$ e somando à Eq.(53) multiplicada por $\sqrt{\epsilon_1}\sin{\theta_1}$, obtém-se

$$a_2=\frac{\sin{2\theta_1}}{\sin{(\theta_1+\theta_2)}\cos{(\theta_1-\theta_2)}}a_1$$ (54)

e depois, sem dificuldade,

$$a_1'=\frac{\tan{(\theta_1-\theta_2)}}{\tan{(\theta_1+\theta_2)}}a_1$$ (55)

Podemos agora calcular $R_{\parallel}$ e $T_{\parallel}$.

$$R_{\parallel} = \frac{\tan^2{(\theta_1-\theta_2)}}{\tan^2{(\theta_1+\theta_2)}}$$ (56)

$$T_{\parallel} = \frac{\sin{2\theta_1}\sin{2\theta_2}} {\sin^2{(\theta_1+\theta_2)}\cos^2{(\theta_1-\theta_2)}}$$ (57)

que são conhecidas como as fórmulas de Fresnel.