Campo elétrico perpendicular

Neste caso o campo magnético é paralelo ao plano de incidência, e os vetores de polarização pertinentes são mostrados na figura abaixo.

A terceira condição de contorno dá

$$a_1\sin{\theta_1}+a_1'\sin{\theta_1}-a_2\sin{\theta_2}=0$$ (35)

enquanto que da quarta se tira

$$a_1\cos{\theta_1}-a_1'\cos{\theta_1}-a_2\cos{\theta_2}=0$$ (36)

Multiplicando a Eq.(35) por $\cos{\theta_1}$ , a Eq.(36) por $\sin{\theta_1}$ e somando as equações resultantes, temos

$$a_2\sin{(\theta_1 + \theta_2)} = 2\; \sin{2\theta_1}$$ (37)

de onde sai que

$$a_2=\frac{\sin{2\theta_1}}{\sin{(\theta_1+\theta_2)}}a_1$$ (38)

Multiplicando a Eq.(35) por $\cos{\theta_2}$, a Eq.(36) por $\sin{\theta_2}$ e subtraíndo a segunda equação assim obtida da primeira, temos

$$a_1\sin{(\theta_1-\theta_2)}=-a_1'\sin{(\theta_1+\theta_2)}$$

ou

$$a_1'= -\frac{\sin{(\theta_1-\theta_2)}}{\sin{(\theta_1+\theta_2)}}a_1$$ (39)

A Eq.(38) dá a amplitude da onda transmitida; a Eq.(39) dá a amplitude da onda refletida.

Passemos ao cálculo das intensidades. Na teoria de Maxwell isto significa determinar o vetor de Poynting $\vec{S}$. A intensidade do campo incidente é

$$\begin{eqnarray*} \vec{S} & = & \frac{c}{4\pi}\vec{E}_i\times\vec{H}_i\\ & = & ... ...a(\frac{ \sqrt{\epsilon_1} }{c}\vec{p}_1.\vec{r}-t)]}\vec{p}_1 \end{eqnarray*}$$

A intensidade propriamente dita é o fluxo de $\vec{S}.\vec{n}$, sendo $\vec{n}$ a normal à superfície em questão. Então, por unidade de área,

$$\vec{S}.\vec{n}=\frac{a_1^2c}{4\pi \sqrt{\epsilon_1} }\cos^2... ...\sqrt{\epsilon_1} }{c}\vec{p}_1.\vec{r}-t)]}\vec{p}_1.\vec{n}$$ (40)

É raro que se queira saber a intensidade com tantos detalhes. Em geral é suficiente, e mais útil, calcular a média por período da intensidade, o que é dado por

$$<\vec{S}.\vec{n}>=\frac{1}{T}\int_0^Tdt\vec{S}.\vec{n}$$

que, no caso da onda incidente, é

$$<\vec{S}.\vec{n}>=\frac{a_1^2c}{4\pi \sqrt{\epsilon_1} }(\ve... ...\omega(\frac{ \sqrt{\epsilon_1} }{c} \vec{p}_1.\vec{r}-t)]}dt$$ (41)

O cálculo dessa integral é elementar. O resultado é o seguinte:

$$\frac{1}{T}\int_0^T\cos^2{[\omega(A-t)]}dt = \frac{1}{2}$$ (42)

onde $A$ é qualquer constante e $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Pondo $\vec{p}_1.\vec{n}=\cos{\theta_1}$ temos então

$$<\vec{S}.\vec{n}>^i_T =\frac{a_1^2c}{8\pi\sqrt{\epsilon_1}}\cos{\theta_1}$$ (43)

Para a intensidade refletida um cálculo análogo dá:

$$<\vec{S}.\vec{n}>^r_T =\frac{a_1'^2c}{8\pi\sqrt{\epsilon_1}}\cos{\theta_1}$$ (44)

Para a intensidade transmitida,

$$<\vec{S}.\vec{n}>^t_T =\frac{a_2^2c}{8\pi\sqrt{\epsilon_2}}\cos{\theta_2}$$ (45)

Estamos agora em condições de definir a reflexividade $R_{\perp}$ e a transmissividade $T_{\perp}$ dessa ondas:

$$R_{\perp}=\frac{fluxo\;de\;energia\;da\;onda\;refletida}{idem\;da\;incidente}$$ (46)

$$T_{\perp}=\frac{fluxo\;de\;energia\;da\;onda\;transmitida}{idem\;da\;incidente}$$ (47)

Uma simples substituição dá:

$$R_{\perp}=\frac{\sin^2{(\theta_1-\theta_2)}}{\sin^2{(\theta_1+\theta_2)}}$$ (48)

$$T_{\perp}=\frac{\sin{2\theta_1}\sin{2\theta_2}}{\sin^2{(\theta_1+\theta_2)}}$$ (49)