Direção da propagação

Como conseqüência da Eq.(17), temos

$$\vec{n}.(a_1\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1} \frac{\vec{p}_1.\vec{r}}{c}-t)} + a_1'\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1' e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1}\frac{\vec{p}_1'.\vec{r}}{c}-t)}$$ (23)

$$- a_2\sqrt{\epsilon_2}\vec{e}_2e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_2} \frac{\vec{p}_2.\vec{r}}{c}-t)})=0$$

Esta relação, envolvendo exponenciais, que formam um conjunto completo, só admite soluções de dois tipos: ou os coeficientes de cada exponencial se anulam, ou temos

$$e^{i\omega(\frac{\sqrt{\epsilon_1}}{c}\vec{p}_1.\vec{r}-t)}=... ...= e^{i\omega(\frac{\sqrt{\epsilon_2}}{c}\vec{p}_2.\vec{r}-t)}$$ (24)

e, neste caso,

$$\vec{n}.(a_1\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1+a_1'\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1' -a_2\sqrt{\epsilon_2}\vec{e}_2)=0$$ (25)

Da Eq.(24) segue que

$$\vec{p}_1.\vec{r} = \vec{p}_1\;'.\vec{r}$$ (26)

$$\sqrt{\epsilon_1}\vec{p}_1.\vec{r} = \sqrt{\epsilon_2}\vec{p}_2.\vec{r}$$ (27)

Usando a notação descrita na figura acima, temos

$$\vec{p}_1.\vec{r}=r\cos{\phi_1}$$

$$\vec{p_1}'.\vec{r}=r\cos{\phi_1'}$$

ou $\cos{\phi_1}=\cos{\phi_1'}$, ou ainda, $\phi_1=\phi_1'$ e, finalmente,

$$\theta_1=\theta_1'$$ (28)

que é a lei fundamental da reflexão.

Da segunda relação segue que

$$\sqrt{\epsilon_1}\cos{\phi_1}=\sqrt{\epsilon_2}\cos{\phi_2}$$

ou,

$$\sqrt{\epsilon_1}\sin{\theta_1}=\sqrt{\epsilon_2}\sin{\theta_2}$$ (29)

que é a lei de Snell-Descartes da refração, acrescida da informação de que, se $n_i$ é o índice de refração do meio $i$, então

$$\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sqrt{\epsilon_1}}{\sqrt{\epsilon_2}}$$ (30)