As soluções

As soluções das equações para $\vec{E}$ e $\vec{H}$ são

$$\vec{E} = \frac{a}{\sqrt{\epsilon}}\vec{e}\;e^{i\omega(\sqrt{\epsilon} \frac{\vec{p}.\vec{r}}{c}-t)}$$ (9)

$$\vec{H} = a\vec{h}\;e^{i\omega(\sqrt{\epsilon}\frac{\vec{p}.\vec{r}}{c}-t)}$$ (10)

onde $a$ é uma constante (amplitude da onda) e os vetores $\vec{e}$ e $\vec{h}$ são os vetores (unitários) de polarização dos campos elétrico e magnético, respectivamente, e estão definidos na figura. O vetor $\vec{p}$ é um vetor unitário na direção e sentido da propagação da onda. $\vec{p}$, $\vec{e}$ e $\vec{h}$, nessa ordem, formam um triedro dextrógiro.

As soluções apresentadas acima são ondas planas e monocromáticas que se propagam na matéria. Os campos incidentes são:

$$\vec{E}_i = \frac{a_1\vec{e}_1}{\sqrt{\epsilon_1}}e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1} \frac{\vec{p}_1.\vec{r}}{c}-t)}$$ (11)

$$\vec{H}_i = a_1\vec{h}_1e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1}}e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1} \frac{\vec{p}_1.\vec{r}}{c}-t)}$$ (12)

Os campos refletidos são

$$\vec{E}_r = \frac{a'_1\vec{e'}_1}{\sqrt{\epsilon_1}}e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1} \frac{\vec{p}_1'.\vec{r}}{c}-t)}$$ (13)

$$\vec{H}_r = a'_1\vec{h'}_1e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1}}e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1} \frac{\vec{p}_1'.\vec{r}}{c}-t)}$$ (14)

e, finalmente, os refratados são

$$\vec{E}_t = \frac{a_2\vec{e}_2}{\sqrt{\epsilon_2}}e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_2} \frac{\vec{p}_2.\vec{r}}{c}-t)}$$ (15)

$$\vec{H}_t = a_2\vec{h}_2e^{i\omega(\frac{\sqrt{\epsilon_2}}{c}\vec{p}_2.\vec{r}-t)}$$ (16)

Temos aí soluções para o meio 1 e soluções para o meio 2. A conexão entre elas é feita através das fórmulas bem conhecidas do eletromagnetismo,

$$\vec{n}.(\vec{D}_1-\vec{D}_2) = 0$$ (17)

$$\vec{n}\times(\vec{E}_1-\vec{E}_2) = 0$$ (18)

$$\vec{n}.(\vec{B}_1-\vec{B}_2) = 0$$ (19)

$$\vec{n}\times(\vec{H}_1-\vec{H}_2)=0 \; ,$$ (20)

que devem ser satisfeitas nos pontos da superfície de separação dos meios. No meios 1 e 2, os campos elétricos totais são:

$$\vec{E}_1 = \vec{E}_i+\vec{E}_r$$ (21)

$$\vec{E}_2 = \vec{E}_t$$ (22)