Propriedades analíticas de $\epsilon(\omega)$

Decorrem da representação integral de $\epsilon(\omega)$, Eq.(), que repetimos para a conveniência do leitor,

$$\vec{D}(\omega) = \epsilon(\omega)\vec{E}(\omega)$$ (19)

$$\epsilon(\omega) = 1+\int_0^{\infty}d\tau f(\tau)e^{i\omega \tau}$$ (20)

lembrando que $f(\tau)$ é finita pata todo $\tau$, incluíndo $0$. Para dielétricos, $f(\tau)$ tende a zero para $\tau\rightarrow \infty$. Escrevendo

$$\epsilon (\omega )=1+\int_0^{\infty}f(\tau)e^{i(\omega'+i\omega'')\tau}d\tau$$ (21)

vê-se que

$$\int_0^{\infty}d\tau f(\tau)e^{i\\ omega'\tau}e^{-\omega''\tau}$$ (22)

indica que $\epsilon(\omega)$ é analítica em $\omega$ para $\omega''>0$; para $\omega''<0$ a representação integral não é válida, e os valores de $\epsilon$ no semiplano inferior $\omega$ devem ser obtidos por prolongamento analítico do semiplano superior. Haverá, em geral, singularidades. No eixo real ($\omega''=0$), $\epsilon(\omega)$ não tem singularidades, pois, para $\omega'>0$, temos valores físicos de $\epsilon'$, que é função par de $\omega$. Na origem não há singularidades para dielétricos, mas há um polo para condutores (ver abaixo).

Note-se que a analiticidade de $\epsilon$ no semiplano superior é uma conseqüência do fato de a integração em $\tau$ ser de $0$ a $\infty$, e não de $-\infty$ a $\infty$. Logo, essa analiticidade é uma conseqüência da em causalidade.

Os teoremas básicos usados nessa análise são os seguintes:
1.Titchmarsh, 2.83[1]


Let $f(z,w )$ be a continuous function of the complex variables $z$ and $w$, where $z$ ranges over a region $D$, and $w$ lies on a contour $C$. Let $f(z,w )$ be an analytic function of $Z$ in $D$, for every value of $w$ on $C$. Then

$$F(z)=\int_{C}f(z,w)dw$$

is an analytic function of $Z$ in $D$, and

$$F'(z)=\int_{C}\frac{\partial f}{\partial z}d w$$

and similarly for higher derivatives.

No nosso caso $\epsilon(\omega)$ é definido pela Eq.(), que envolve uma integral num contorno (semi-eixo real positivo). As variáveis $z$ e $w$ do teorema são, respectivamente, $\omega$ e $\tau$. Para mostrar que $\epsilon(\omega)$ é analítica para $\omega''\geq 0$, temos de mostrar que:
1. $e^{i\omega\tau}$ é analítica em $\omega$ para $\omega''>0$ e para todo $0\leq \tau \leq \infty$. Óbvio.
2. $f(\tau)e^{i\omega\tau}$ é uma função contínua de $\omega$ e $\tau$ para $\omega''>0$ e $0\leq \tau \leq \infty$.
Contudo, há o problema da convergência da integral. Por isso, temos de usar um outro teorema (Titchmarsh 2.84)[1]:

Let $C$ be a contour going to $\infty$. Suppose that the conditions of the precedent theorem are satisfied on any bounded part of $C$, and that

$$\int_{C}f(z,w)dw$$

is uniformly convergent. Then the results of the previous theorem still hold.

Ora, $\int_0^{\infty}f(\tau)d\tau$ é convergente por hipótese. $\int_0^{\infty}f(\tau)e^{i\omega'\tau}e^{-\omega'' \tau}$ é mais convergente ainda, para $\omega''>0$, do que a anterior. Logo, é uniformemente convergente.(É majorada por uma integral uniformemente convergente).