Next: Relações de dispersão
Up: dispersion
Previous: A energia do campo
Decorrem da representação integral de
,
Eq.(), que repetimos para a conveniência do leitor,
lembrando que é finita pata todo , incluíndo . Para dielétricos, tende a zero para
. Escrevendo
|
(21) |
vê-se que
|
(22) |
indica que
é analítica em para
; para a representação integral não é válida,
e os valores de no semiplano inferior devem ser obtidos
por prolongamento analítico do semiplano superior. Haverá, em geral,
singularidades. No eixo real (),
não tem
singularidades, pois, para , temos valores físicos de
, que é função par de . Na origem não há
singularidades para dielétricos, mas há um polo para condutores (ver abaixo).
Note-se que a analiticidade de no semiplano superior é uma
conseqüência do fato de a integração em ser de a , e
não de a . Logo, essa analiticidade é uma
conseqüência da em causalidade.
Os teoremas básicos usados nessa análise são os seguintes:
1.Titchmarsh, 2.83[1]
Let be a continuous function of the complex variables and
, where ranges over a region , and lies on a contour .
Let be an analytic function of in , for every value of
on . Then
is an analytic function of in , and
and similarly for higher derivatives.
No nosso caso
é definido pela Eq.(), que
envolve uma integral num contorno (semi-eixo real positivo). As variáveis
e do teorema são, respectivamente, e . Para mostrar
que
é analítica para
, temos de
mostrar que:
1.
é analítica em para e para todo
. Óbvio.
2.
é uma função contínua de e
para e
.
Contudo, há o problema da convergência da integral. Por isso, temos de usar
um outro teorema (Titchmarsh 2.84)[1]:
Let be a contour going to . Suppose that the
conditions of the precedent theorem are satisfied on any bounded part of
, and that
is uniformly convergent. Then the results of the previous theorem still hold.
Ora,
é convergente por hipótese.
é mais
convergente ainda, para , do que a anterior. Logo, é
uniformemente convergente.(É majorada por uma integral uniformemente
convergente).
Next: Relações de dispersão
Up: dispersion
Previous: A energia do campo
Henrique Fleming
2003-03-21