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Considere a integral
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no pano complexo . O ponto é um valor real
e positivo de . O contorno percorre o eixo real de
a , ''salta'' o ponto como indicado
na figura, e se fecha
por um semi-círculo de raio no semiplano superior. Toma-se
depois o limite
.
Pela analiticidade de
no
interior do contorno, temos . A integral no círculo grande é
zero, pois tomando
,
Por outro lado,
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(28) |
Em conseqüência,
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(29) |
onde é um semiccxirculo em torno do ponto .
A terceira integral dá, trivialmente,
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no limite
( é o raio do pequeno
semiccxirculo . Logo,
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(31) |
e
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(32) |
onde indica o valor principal de Cauchy. Tomando agora separadamente
a igualdade entre as partes reais e imaginárias, temos:
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(33) |
de onde sai imediatamente que
que são as relacxo de Kramers [2], Kronig[3].
Estas relacxo têm inúmeras aplicacxo. Damos alguns exemplos.
1. Se um meio dielétrico não absorve em nenhuma freqencia,
também não polariza em nenhuma freqencia, ou seja, é o vácuo.
Logo, só o vácuo é totalmente transparente.
2. Se um meio se polariza, necessariamente absorve (logicamente
equivalente à anterior!).
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Henrique Fleming
2003-03-21