A energia do campo em meios dispersivos

Em um meio dielétrico isotrópico de dispersão desprezível se tem

$$div\vec{S}=-\frac{\partial U}{\partial t}$$

onde $\vec{S}$ é o vetor de Poynting e $U$ a densidade de energia, dada por

$$U=\frac{1}{8\pi}\left(\epsilon\vec{E}^2+\mu\vec{H}^2\right)$$

O resultado exato, que não depende de hipóteses sobre a existência ou não de dispersão é:

$$div \; \vec{S}=-\frac{1}{4\pi}\left(\vec{E}.\frac{\partial \... ...\partial t}+\vec{H}.\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)$$ (11)

Na figura acima, o retângulo tracejado delimita um trecho do meio material onde a onda se propaga. É suposto que esse trecho é longo o suficiente para que toda a energia da onda seja absorvida, de maneira que, da energia que penetra no volume pela face $A$, nenhuma emerge pela face $B$ ($\vec{S}$ é $\perp$ ás faces $A$ e $B$). A integral volumétrica de $div\;\vec{S}$ dá, então, a quantidade de energia absorvida. Como ela é transformada em calor, há uma variação da entropia, que é, pela segunda lei da termodinâmica, necessariamente positiva, dada por $-div\;\vec{S}$.

Pondo

$$\begin{eqnarray*} \vec{E} & = & \frac{1}{2}(\vec{E}+\vec{E}^*)\\ \vec{D} & = & ... ...ac{-i\omega}{2} \left(\epsilon\vec{E}-\epsilon^*\vec{E}^*\right) \end{eqnarray*}$$

e analogamente para $\vec{B}$ e $\vec{H}$, temos

$$\vec{E}.\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}=-\frac{i\omega}{4... ...}^*+\epsilon\vec{E}^*. \vec{E}-\epsilon^*\vec{E}^*.\vec{E}^*\}$$ (12)

Os termos em $\vec{E}.\vec{E}^*$ não oscilam. Os outros termos têm um fator oscilante $e^{\pm 2i\omega t}$, e desaparecem na média por período, de maneira que a contribuição finita é

$$-div\;\vec{S}=Q=\frac{\omega}{8\pi}(\epsilon''\vert\vec{E}\vert^2+\mu''\vert\vec{H}\vert^2)\;,$$ (13)

representando a quantidade de calor produzida por unidade de tempo e unidade de volume. $Q$ tem de ser positivo, e daí seguem os importantes resultados

$$\epsilon'' > 0$$ (14)

$$\mu '' > 0$$ (15)

Mais geralmente, para o caso não-monocromático, procede-se assim:

$$\vec{E}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\vec{E}(\omega)e^{-i\omega t}\frac{d\omega}{2\pi}{\bf }$$ (16)

$$\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}=-i\int_{-\infty}^{\infty... ...silon(\omega)\vec{E}(\omega)e^{-i\omega t}\frac{d\omega}{2\pi}$$ (17)

com $\vec{E}(-\omega)=\vec{E}^*(\omega)$. Vamos construir agora os os vários termos que aparecem na Eq.().

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\vec{E}.\frac{\partial \... ...psilon'' (\omega)\vert\vec{E}(\omega)\vert^2\frac{d\omega}{2\pi} \end{eqnarray*}$$

onde usamos

$$\int_{-\infty}^{\infty}\omega\epsilon'(\omega)\vert\vec{E}\vert^2 \frac{d\omega}{2\pi}=0$$

uma vez que o integrando é função ímpar de $\omega$. Logo,

$$\int_{-\infty}^{\infty}Q dt = \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{... ...omega)\vert\vec{H}(\omega)\vert^2\right)\frac{d\omega}{2\pi}>0$$ (18)

com $\epsilon''(\omega)>0$ e $\mu''(\omega)>0$ para todo $\omega$.