Limite de altas freqüências

No limite $\omega\rightarrow \infty$ não há polarização, ou seja, $\epsilon(\infty)\rightarrow 1$. A seguir obteremos o comportamento de $\epsilon(\omega)$ para grandes valores de $\omega$ de forma mais detalhada usando um modelo muito simples.

Se a freqüência for grande comparada às freqüências dos movimentos de todos os elétrons, esses poderão ser considerados livres. Além disso, de $v\ll c$ segue que $\frac{v}{\omega}$, a distância percorrida por um elétron durante um período da oscilação satisfaz a

$$\frac{v}{\omega}\ll \frac{c}{\omega}=\frac{\lambda}{2\pi}$$

Logo, o elétron, durante um período, explora uma pequeniníssima porção de um comprimento de onda, ou seja, praticamente não sente a variação espacial do campo. Pode-se, então, tomar o campo como uniforme. A equação de movimento do elétron será

$$m\frac{d\vec{v}}{dt}=e\vec{E}$$

ou

$$\vec{v}=\frac{ie}{m\omega}\vec{E}$$

pois, para a dependência harmônica $e^{i\omega t}$ da velocidade, a derivada no tempo é equivalente à multiplicação por $i\omega$. Logo,

$$\vec{\dot{r}}=\frac{ie}{m\omega}\vec{E}$$

e, também,

$$\vec{r}=-\frac{e\vec{E}}{m\omega^2}$$

O vetor de polarização $\vec{P}$ (momento de dipolo induzido por unidade de volume) é

$$\vec{P}= Ne\vec{r}=Ne \left(-\frac{e\vec{E}}{m\omega^2}\right)$$

onde $N$ é o número de elétrons por unidade de volume. Conseqüentemente,

$$\vec{P}=-\frac{e^2N\vec{E}}{m\omega^2}$$

A relação bem conhecida (que é, de fato, a definição de $\vec{D}$)

$$\epsilon \vec{E} = \vec{E}+4\pi\vec{P}$$

leva então a

$$\epsilon(\omega)\vec{E}(\omega)=\vec{E}(\omega)- \frac{4\pi e^2N}{m\omega^2}\vec{E}(\omega)$$

ou, finalmente, a

$$\epsilon(\omega)=1-\frac{4\pi Ne^2}{m\omega^2}$$ (10)

que é o limite procurado.