Equações constitutivas

As equações de Maxwell

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} .\vec{B} & = & 0 \\ \vec{\nabla} .\vec{D} & = & ... ...es \vec{H} & = & \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{eqnarray*}$$

e a expressão da polarização,

$$\vec{P}=\frac{\vec{D}-\vec{E}}{4\pi}$$ (1)

precisam ser suplementadas por equações constitutivas. Para freqüências altas temos, normalmente, campos fracos, o que sugere uma relação linear entre $\vec{D}$ e $\vec{E}$. A existência de memória sugere, então,

$$\vec{D}(t)=\vec{E}(t)+\int_0^{\infty}f(\tau)\vec{E}(t-\tau)d\tau$$ (2)

Introduzindo as transformadas de Fourier

$$\vec{E}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\vec{E}(\omega) e^{-i\omega t}$$ (3)

obtém-se¹

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega e^{-i\omega t} ... ...{\infty}d\tau f(\tau)\vec{E}(\omega)e^{i\omega \tau} \right)=0$$ (4)

ou seja,

$$\vec{D}(\omega) = \epsilon(\omega)\vec{E}(\omega)$$ (5)

$$\epsilon(\omega) = 1+\int_0^{\infty}d\tau f(\tau)e^{i\omega \tau}$$ (6)

Portanto, para campos periódicos, é vantajoso expressar as equções constitutivas em termos da freqüência; naturalmente $\epsilon(\omega)$ depende das propriedades do meio. Note que $\epsilon(\omega)$ é um número complexo, podendo ser escrito

$$\epsilon(\omega)=\epsilon'(\omega)+i\epsilon''(\omega)$$

e, usando Eq.(),

$$\epsilon(-\omega)=1+\int_0^{\infty}d\tau f(\tau)e^{-i\omega \tau}= \epsilon^*(\omega)$$ (7)

Equivalentes à relação $\epsilon(-\omega)=\epsilon^*(\omega)$ são:

$$\epsilon'(-\omega) = \epsilon'(\omega)$$ (8)

$$\epsilon''(-\omega) = -\epsilon''(\omega)$$ (9)

ou seja, a parte real de $\epsilon$ é uma função par; a parte imaginária é uma função ímpar. Numa expansão em série de potências de $\omega$, a parte real de $\epsilon$ começará com uma potência zero de $\omega$ (a constante dielétrica ordinária), vindo a seguir uma correção quadrática. Já a parte imaginária conterá apenas potências ímpares, e, em particular, se anula para $\omega=0$. Em outras palavras, o limite da eletrostática não oferece qualquer informação sobre a parte imaginária da permissividade (que é o nome ``oficial'' de $\epsilon$).