Um teorema útil

O seguinte teorema, corolário do teorema de Stokes, facilitará muito a nossa tarefa:

Seja $S$ uma superfície delimitada por uma curva fechada com um sentido de percurso escolhido. Seja $\vec{n}$ o campo das normais à superfície, coordenadas com o sentido de percurso pela ``regra do saca-rolhas''. Seja ainda $f$ uma função. Então,

$$\oint f d\vec{l}=\int \left(\vec{n}\times \vec{\nabla}f\right) dS$$ (17)

A demonstração é uma aplicação direta do teorema de Stokes. Considere o campo vetorial $f\vec{v}$, onde $\vec{v}$ é um campo constante (uniforme, na linguagem dos físicos). Pelo teorema de Stokes, temos

$$\int rot(f\vec{v}).\vec{n}dS=\oint f\vec{v}.d\vec{l}=\vec{v}. \oint f\;d\vec{l}$$ (18)

Mas $rot(f\vec{v})=f\;rot\vec{v}+\vec{\nabla}f\times \vec{v}$,e, como $\vec{v}$ é constante, $rot \vec{v}=0$. Logo,

$$\int_{S}\left(\vec{\nabla}f\times\vec{v}\right).\vec{n}dS= \vec{v}.\oint f\;d\vec{l}$$ (19)

Mas $\vec{n}.(\vec{\nabla}f\times\vec{v})=\vec{v}.(\vec{n} \times \vec{\nabla}f)$, logo,

$$\vec{v}.\int\left(\vec{n}\times\vec{\nabla}f\right)dS= \vec{v}.\oint f d\vec{l}$$

Para que isto seja verdade para qualquer $\vec{v}$ constante, devemos ter a Eq.(17) satisfeita.