Exibindo o dipolo magnético

Uma distribuição de correntes estacionárias é descrita por um campo vetorial $\vec{j}(\vec{r})$ que é tal que

$$div \vec{j}=0$$ (6)

O potencial vetor gerado por essa distribuição é

$$\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{c}\int d^3\vec{r'}\frac{\vec{j} (\vec{r'})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (7)

As correntes estão confinadas numa região finita, ou seja, existe um valor $a$ tal que $\vert\vec{r'}\vert < a$. Estamos observando essa distribuição de longe, ou seja, $r>>a$. Neste caso,

$$\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2 - 2\vec{r}.\vec{r'}}} = \frac{1}{r\sqrt{1-\frac{2\vec{r}.\vec{r'}} {r^2}+\frac{r'^2}{r^2}}}$$ (8)

$$= \frac{1}{r}\left(1-\frac{2\vec{r}.\vec{r'}}{r^2}\right)^ {-\frac{1}{2}}$$ (9)

$$\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert} = \frac{1}{r} + \frac{\vec{r}.\vec{r'}}{r^3}$$ (10)

desprezando-se os termos adicionais, que são pequenos. Logo,

$$\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{rc}\int\vec{j}(\vec{r'})d^3\vec{r'... ...rac{1}{cr^3}\int(\vec{r}.\vec{r'})\vec{j}(\vec{r'})d^3\vec{r'}$$ (11)

A primeira integral se anula para correntes estacionárias. De fato, sendo $div \vec{j}=0$, temos

$$\int d^3\vec{r} x\;div\vec{j}=\int d^3\vec{r}div(x\vec{j})- \int d^3\vec{r}\vec{\nabla}x.\vec{j}$$ (12)

ou

$$0=\int_S x\vec{j}.\vec{n}dS - \int d^3\vec{r}j_x$$ (13)

onde usamos o teorema do divergente para transformar a primeira integral do segundo membro da Eq.(12) em uma integral de superfície. Como a integração era sobre todo o volume, a superfície está no infinito, onde o integrando é zero, como toda quantidade física. Por isso, na Eq.(13), a primeira integral do segundo membro é nula, e se obtém

$$\int d^3\vec{r} j_x=0$$ (14)

De forma análoga se mostra que as demais componentes também se anulam, e, portanto, que

$$\int d^3\vec{r} \vec{j}(\vec{r})=0$$ (15)

se $div \vec{j}=0$. Temos, assim, para uma distribuição estacionária de correntes ``olhada de longe'',

$$\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{cr^3}\int d^3\vec{r'}(\vec{r}.\vec{r'})\vec{j}( vec{r'})$$ (16)