Retomando a estrada

Tínhamos obtido que

$$\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{cr^3}\int d^3\vec{r'}(\vec{r}.\vec{r'})\vec{j}( vec{r'})$$ (20)

Para circuitos em fios. $d^3\vec{r}\vec{j}=i\;d\vec{l}$, logo,

$$\vec{A}(\vec{r})=\frac{i}{cr^3}\oint(\vec{r}.\vec{r'})\vec{j}(\vec{r'})$$ (21)

Usando o nosso teorema, temos

$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{i}{cr^3}\int dS\left(\vec{n}\times \vec{\nabla'}(\vec{r}.\vec{r'})\right)$$ (22)

$$= \frac{i}{cr^3}\int dS \vec{n}\times\vec{r}$$ (23)

$$= \frac{i\vec{S}}{cr^3}\times \vec{r}$$ (24)

onde usamos que $\vec{\nabla'}(\vec{r}.\vec{r'})=\vec{r}$. Além disso, supusemos que o circuito é uma curva plana, e que a superfície de integração é um trecho do plano. neste caso, $\vec{n}$ é um vetor constante, e

$$\int dS \vec{n}=\vec{n}\int dS = S\vec{n}\equiv \vec{S}$$

onde a última igualdade define o ``vetor superfície'', $\vec{S}$, que é um vetor cujo módulo é a área da superfície, perpendicular à superfície e com o sentido coordenado ao sentido de percurso da curva pela regra do saca-rolhas. Resumindo, temos

$$\vec{A}(\vec{r})=\frac{i\vec{S}}{cr^3}\times \vec{r} =\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}$$ (25)

com

$$\vec{m}=\frac{i\vec{S}}{c}$$ (26)

Assim, descobrimos que o momento de dipolo magnético de um circuito simples (anel de corrente) é proporcional à sua área e à corrente que passa pelo fio.