Comecinho

Suponho que o leitor destas notas esteja familiarizado com funções de uma variável real, e de valores reais, que sejam contínuas e diferenciáveis até qualquer ordem. Estas funções têm o nome de funções $C^{\infty}$. Os físicos se referem a elas dizendo que são bem comportadas.

Para um tratamento semelhante ao meu, mas com figuras bonitas, veja

http://oregonstate.edu/dept/math/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/partial/partial.html

Para funções diferenciáveis de uma variável, temos uma maneira importantíssima de resolver o seguinte problema: dado o valor da função em um ponto $P$, determinar o valor dela num outro ponto, bem próximo,$P+dP$. Seja $x$ a coordenada do ponto $P$, e $x+dx$ a coordenada do ponto $P+dP$. Então

$$f(x+dx)\approx f(x)+\left(\frac{df}{dx}\right)_{x}dx$$ (1)

que é a fórmula dos acréscimos finitos.

Exercícios:
(1)Mostre que, para $x$ muito pequeno,

$$e^{x} \approx 1+x$$

$$\sin{x} \approx x$$

$$\cos{x} \approx 1$$

$$\log{(1+x)} \approx x$$

$$(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$$

(2)A correção seguinte é dada pela fórmula

$$f(x+dx)=f(x)+dx\;\left(\frac{df}{dx}\right)_{x}+\frac{1}{2!}(dx)^{2} \left(\frac{d^2f}{dx^2}\right)_{x}$$ (2)

Para cada função do exercício (1), calcule esta nova aproximação.

Consideremos agora uma função de 3 variáveis, $f(x,y,z)$ com valores reais. Os matemáticos diriam:

$$f: O\subset \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$$ (3)

onde $O$ é um aberto de $\mathbb{R}^{3}$. Gostaríamos de ter uma fórmula dos acréscimos finitos também neste caso. Para isso precisamos do conceito de derivada parcial. Uma função como a que descrevemos será diferenciável se existirem, e forem contínuas, as funções $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial f}{\partial z}$, denominadas derivadas parciais de $f$, e definidas assim:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{x_{0},y_{0},z_{0}}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{h}$$ (4)

ou seja, é a derivada de $f$ em relação a $x$ como se $y$ e $z$ fossem constantes. Definições análogas são dadas para $\frac{\partial f}{\partial y}$ e $\frac{\partial f}{\partial z}$.

Um ponto de coordenadas $(x_{0},y_{0},z_{0})$ pode ser representado pelo vetor $\vec{r}_{0}=x_{0}\vec{i}+y_{0}\vec{j}+z_{0}\vec{k}$. Um ponto genérico é representado pelo vetor $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Um valor genérico da função $f$ pode então ser escrito como

$$f(x,y,z)=f(\vec{r})$$ (5)

Diz-se que uma função $f$ é contínua no ponto $\vec{r}_{0}$ se, dado $\epsilon > 0$, existe $\delta$ tal que

$$\vert f(\vec{r})-f(\vec{r}_{0})\vert< \epsilon \;\;\; \;\;\; \vert\vec{r}-\vec{r}_{0}\vert< \delta$$ (6)

Em palavras, para $\vec{r}$ muito próximo de $\vec{r}_{0}$, $f(\vec{r})$ é muito próximo de $f(\vec{r}_{0})$. Uma função é diferenciável se: (1) For contínua; (2) Seu gráfico não tiver ``bicos'' ou ``vincos''. No caso de uma função de duas variáveis, $f(x,y)$, podemos visualizar esse conceito assim: o gráfico da função, ou seja, o gráfico $z=f(x,y)$, é, se ela for contínua, uma superfície ``acima'' do plano $xy$. A função é diferenciável num ponto $(x,y)$, se o a superfície do gráfico tiver um plano tangente no ponto $(x,y,z=f(x,y))$. Neste caso, localmente, a superfície do gráfico se confunde com o plano tangente. Veja as figuras da segunda referência da internet, abaixo.

A fórmula dos acréscimos finitos, neste caso, é

$$f(x+dx,y+dy,z+dz)=f(x,y,z)+dx\frac{\partial f}{\partial x}+ dy\frac{\partial f}{\partial y}+dz\frac{\partial f}{\partial z}$$ (7)

sendo as derivadas parciais do segundo membro calculadas no ponto $(x,y,z)$.

Exemplos:
(1) $f(x,y,z)=x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{3}$.
As derivadas parciais são:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xyz+y^{2}z+yz^{3}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}z+2xyz+xz^{3}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = x^{2}y+xy^{2}+3xyz^{2}$$

(2) $f(x,y,z)=x+y+z$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 1$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 1$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = 1$$

(3) $f(x,y,z)=x(\log{y})e^{z}$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = (\log{y})e^{z}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y}e^{z}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = x(\log{y})e^{z}$$

(4) Resultados importantes:

$$\frac{\partial x}{\partial x} = 1$$

$$\frac{\partial x}{\partial y} =$$ 0

$$\frac{\partial x}{\partial z} =$$ 0 etc...

Exercícios:
(1) Considere a função $r(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
(a)Calcule as derivadas parciais $\frac{\partial r}{\partial x}$, $\frac{\partial r}{\partial y}$ e $\frac{\partial r}{\partial z}$.
(b)Usando a fórmula dos acréscimos finitos, calcule $r(x+dx,y+dy,z+dz)$.
(c) Seja $dr=r(x+dx,y+dy,z+dz)-r(x,y,z)$ Mostre que

$$dr^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$$

A fórmula dos acréscimos finitos, eq.(7), pode ser reescrita em termos de vetores: seja $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k}$. Defino o gradiente de $f$ assim:

$$\vec{\nabla}f \equiv \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$ (8)

O símbolo $\vec{\nabla}$ é pronunciado ``nabla'' porque, diz-se, tem a forma de uma antigo instrumento musical hebraico. Outros dizem que é a letra ``G'' no alfabeto Klingon. Go figure!

O fato é que a fórmula dos acréscimos finitos pode agora ser escrita assim:

$$df \equiv f(\vec{r}+d\vec{r})-f(\vec{r})=d\vec{r}.\vec{\nabla}f$$ (9)

Exemplos:
(1)A função $r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ é a distância do ponto de coordenadas $x$, $y$ e $z$ à origem. Calculemos o seu gradiente. Verifica-se facilmente que

$$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$$

$$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$$

$$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$$

Logo, temos

$$\vec{\nabla}r=\frac{1}{r}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})$$

e, como $x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=\vec{r}$, o resultado é

$$\vec{\nabla}r=\frac{\vec{r}}{r}$$

Notando que $r$ é o módulo de $\vec{r}$, vemos que o gradiente de $r$ é o vetor unitário na direção radial, ou seja, na direção em que a distância do ponto $(x,y,z)$ à origem cresce mais rapidamente. Veremos que isto não é coincidência.
(2) Considere uma função qualquer da variável $r$, que vem a ser a função descrita acima. Temos aqui um caso de função composta (ou ``função de função''):

$$f(r)=f(r(x,y,z))$$

e a função é, em última análise, função de $x$, $y$ e $z$. Temos, então, de calcular derivadas $\frac{\partial f}{\partial x}$, etc. Demonstra-se o importante resultado, denominado regra da cadeia:¹

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{dr}\frac{\partial r}{\partial x}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{df}{dr}\frac{\partial r}{\partial y}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{df}{dr}\frac{\partial r}{\partial z}$$

Podemos agora calcular $\vec{\nabla}f$:

$$\vec{\nabla}f(r) = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$

$$= \frac{df}{dr}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial r}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial r}{\partial z}\vec{k}\right)$$

$$= \frac{df}{dr}\vec{\nabla}r$$

Obtivemos, assim, uma fórmula muito importante:

$$\vec{\nabla}f(r) = \frac{df}{dr}\frac{\vec{r}}{r}$$ (10)

Exemplos:

$$\vec{\nabla}r^2=\frac{dr^2}{dr}\vec{\nabla}r=2r\frac{\vec{r}}{r}=2\vec{r}$$

$$\vec{\nabla}\frac{1}{r}=\left(-\frac{1}{r^2}\right)\frac{\vec{r}}{r}=-\frac{\vec{r}}{r^3}$$