5.1 Definição Uma 1-forma em
é uma função real
(isto é, a valores reais) sobre o
conjunto dos vetores tangentes a
, tal que
é
linear em cada ponto, isto é,
A soma de 1-formas e
é definida ponto-a-ponto:
Daí decorre uma maneira natural para calcular a ação de uma 1-forma
sobre um campo vetorial
, dando uma função real
:
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Usando a noção de derivada direcional vamos introduzir agora uma maneira muito importante de construir !-formas a partir de funções.
5.2 Definição Seja
diferenciável. A diferencial
de
é
uma 1-forma tal que
Comentário: A assim definida é efetivamente uma
1-forma, pois é uma função a valores reais sobre os vetores
tangentes e que, pela parte (1) do teorema 3.3, é linear em cada
ponto
. Note-se que
sabe como
varia em todas as
direções de
, o que dá uma medida de sua potência.
5.3 Exemplos 1-formas em
.
(1) As diferenciais ,
,
das funções coordenadas
naturais.
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||
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5.4 Lema Se é uma 1-forma em
, então
, onde
. Essas funções
,
,
, são chamadas
funções coordenadas euclideanas de
.
Dem.: Um vetor tangente genérico pode ser escrito
Este lema mostra que uma 1-forma em
não é senão
uma expressão
, onde os
são precisamente
definidos.
5.5 Corolário: Seja uma função diferenciável
em
. Então,
Dem.: