Next: Formas diferenciais
Up: Campos vetoriais: formulação moderna
Previous: Curvas em
Seja
. Elementarmente usa-se
definir a diferencial de como
sem esclarecer o que esta expressão formal significa. A seguir
daremos um significado preciso à noção de diferencial de uma função.
5.1 Definição Uma 1-forma em
é uma função real (isto é, a valores reais) sobre o
conjunto dos vetores tangentes a
, tal que é
linear em cada ponto, isto é,
para quaisquer números e quaisquer vetores tangentes
em um ponto arbitrário de
.
Assim, dada , é um número. No ponto
, ponto de aplicação de , a função
é linear. Então, em cada ponto , é um elemento
do espaço dual de
. Neste sentido, a noção de
1-forma é dual à de campo vetorial.
A soma de 1-formas e é definida ponto-a-ponto:
para todo em
. De modo semelhante, se
é uma função real em
e é uma 1-forma,
então a 1-forma é definida assim:
para todos os vetores tangentes .
Daí decorre uma maneira natural para calcular a ação de uma 1-forma
sobre um campo vetorial , dando uma função real :
Pode-se então interpretar também uma 1-forma como uma máquina
que converte campos vetoriais em funções reais. Diz-se que é
diferenciável quando é diferenciável para qualquer
diferenciável. A partir de agora vamos sempre supor que as
1-formas, bem como os campos vetoriais, são diferenciáveis. As
seguintes propriedades da linearidade valem:
onde e são funções.
Usando a noção de derivada direcional vamos introduzir agora uma
maneira muito importante de construir !-formas a partir de funções.
5.2 Definição Seja
diferenciável. A diferencial de é
uma 1-forma tal que
para todos os vetores tangentes .
Comentário: A assim definida é efetivamente uma
1-forma, pois é uma função a valores reais sobre os vetores
tangentes e que, pela parte (1) do teorema 3.3, é linear em cada
ponto . Note-se que sabe como varia em todas as
direções de
, o que dá uma medida de sua potência.
5.3 Exemplos 1-formas em
.
(1) As diferenciais ,, das funções coordenadas
naturais.
Assim, o valor de em um vetor tangente arbitrário
é a i-ésima componente de sua parte vetorial.
(2) A 1-forma
(3) Em particular, tomando como vetores os , temos
e, assim, ,, formam a base dual de ,
,, que é a base natural de
.
5.4 Lema Se é uma 1-forma em
, então
, onde
. Essas funções , , , são chamadas
funções coordenadas euclideanas de .
Dem.: Um vetor tangente genérico pode ser escrito
logo,
onde denotamos
por
. Mas
logo,
, onde
.
Este lema mostra que uma 1-forma em
não é senão
uma expressão
, onde os são precisamente
definidos.
5.5 Corolário: Seja uma função diferenciável
em
. Então,
Dem.:
Ora,
o que demonstra o corolário.
Next: Formas diferenciais
Up: Campos vetoriais: formulação moderna
Previous: Curvas em
Henrique Fleming
2003-08-11