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Vetores Tangentes

2.1 Def. Um vetor tangente $ v_{p}$ de $ \mathbb{R}^3$ consiste de dois pontos de $ \mathbb{R}^3$: a parte vetorial $ v$ e o ponto de aplicação $ p$. $ v_p$ é sempre representado pela flexa do ponto $ p$ ao ponto $ p+v$. É importante ressaltar que dois vetores tangentes, $ v_p$ e $ w_q$, são iguais, $ v_p=w_q$, se e só se $ v=w$ e $ p=q$; ou seja, além da igualdade das partes vetoriais, requer-se a igualdade dos pontos de aplicação. Vetores com a mesma parte vetorial e pontos de aplicação diferentes são ditos paralelos. Esta conceituação de vetores tangentes é comum na física, onde o ponto de aplicação de uma força é essencial.

2.2 Def.Seja $ p$ um ponto de $ \mathbb{R}^3$. O conjunto $ T_{p}(\mathbb{R}^3)$ de todos os vetores que têm $ p$ como ponto de aplicação é chamado de espaço tangente a $ \mathbb{R}^3$ em $ p$.

2.3 Def. Um campo vetorial $ V$ em $ \mathbb{R}^3$ é uma função que associa a cada ponto $ p$ de $ \mathbb{R}^3$ um vetor tangente $ V(p)$ a $ \mathbb{R}^3$, em $ p$.

Existe uma álgebra natural para campos vetoriais:

$\displaystyle (V+W)(p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle V(p)+W(p)$  
$\displaystyle (fV)(p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(p)V(p)$  

onde $ f:\mathbb{R}^3\rightarrow
\mathbb{R}$

2.4 Def. Sejam $ U_1,U_2,U_3$ campos vetoriais em $ \mathbb{R}^3$ tais que
$\displaystyle U_1(p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1,0,0)_p$  
$\displaystyle U_2(p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0,1,0)_p$  
$\displaystyle U_3(p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0,0,1)_p$  

para todo $ p \in \mathbb{R}^3$. Chamamos $ U_1,U_2,U_3$ de referencial natural de $ \mathbb{R}^3$. $ U_i$ ($ i=1,2,3$) é um conjunto de vetores unitários na direção $ x_i$.

2.5 Lema Se $ V$ é um campo vetorial em $ \mathbb{R}^3$, existem três ( e só três) funções reais $ v_1, v_2, v_3$ em $ \mathbb{R}^3$ tais que

$\displaystyle V=v_1U_1+v_2U_2+v_3U_3
$

As funções $ v_1, v_2, v_3$ são denominadas funções coordenadas euclideanas de $ V$.
Prova $ V:p\mapsto V(p)$ vetor tangente. A parte vetorial de $ V(p)$ pode ser descrita como $ (v_1(p),v_2(p),v_3(p))$ que, ponto a ponto, define as funções $ v_1, v_2, v_3$. Mas
$\displaystyle V(p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (v_1(p),v_2(p),v_3(p))$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle v_1(p)(1,0,0)_p+v_2(p)(0,1,0)_p+v_3(p)(0,0,1)_p$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle v_1(p)U_1(p)+v_2(p)U_2(p)+v_3(p)U_3(p)$  

Logo,

$\displaystyle V=v_1U_1+v_2U_2+v_3U_3
$

Cálculos com campos vetoriais podem sempre ser expressos em termos de suas funções coordenadas euclideanas. Por exemplo, a adição e a multiplicação por uma função são dados por

$\displaystyle \sum_{i}v_iU_i+\sum_{i}w_iU_i=\sum_{i}(v_i+w_i)U_i$      
$\displaystyle f\left[\sum_{i}v_iU_i\right]=\sum_{i}\left[fv_i\right]U_i$      

Esta última equação significa que, em um ponto arbitrário $ p$, teremos

$\displaystyle \left\{f\left[\sum_{i}v_iU_i\right]\right\}(p)=\sum_{i}\left(
f(p)v_i(p)\right)U_i(p)
$

Um campo vetorial $ V$ é diferenciável se suas funções coordenadas euclideanas forem diferenciáveis.
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Henrique Fleming 2003-08-11