Next: Derivadas direcionais
Up: Campos vetoriais: formulação moderna
Previous: Espaço Euclideano: conceitos básicos
2.1 Def. Um vetor tangente de
consiste de dois pontos
de
: a parte vetorial e o ponto de aplicação . é sempre
representado pela flexa do ponto ao ponto . É importante ressaltar que
dois vetores tangentes, e , são iguais, , se e só se
e ; ou seja, além da igualdade das partes vetoriais, requer-se a
igualdade dos pontos de aplicação. Vetores com a mesma parte vetorial e pontos de
aplicação diferentes são ditos paralelos. Esta conceituação de vetores tangentes é
comum na física, onde o ponto de aplicação de uma força é essencial.
2.2 Def.Seja um ponto de
. O conjunto
de todos os vetores que têm como ponto de aplicação é chamado de
espaço tangente a
em .
2.3 Def. Um campo vetorial em
é uma função que associa a cada
ponto de
um vetor tangente a
, em .
Existe uma álgebra natural para campos vetoriais:
onde
2.4 Def. Sejam
campos vetoriais em
tais que
para todo
. Chamamos
de referencial natural
de
. () é um conjunto de vetores unitários
na direção .
2.5 Lema Se é um campo vetorial em
, existem três
( e só três) funções reais
em
tais que
As funções
são denominadas funções coordenadas euclideanas de .
Prova
vetor tangente. A parte vetorial de pode ser
descrita como
que, ponto a ponto, define as funções
. Mas
Logo,
Cálculos com campos vetoriais podem sempre ser expressos em termos de suas
funções coordenadas euclideanas. Por exemplo, a adição e a multiplicação por uma
função são dados por
Esta última equação significa que, em um ponto arbitrário , teremos
Um campo vetorial é diferenciável se suas funções coordenadas euclideanas
forem diferenciáveis.
Next: Derivadas direcionais
Up: Campos vetoriais: formulação moderna
Previous: Espaço Euclideano: conceitos básicos
Henrique Fleming
2003-08-11