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1.1 Def. O espaço euclideano
é o conjunto
de todas as triplas ordenadas de números reais. A tripla
é denominada um ponto
de
é um espaço vetorial sobre os reais de maneira natural:
se
e
são pontos de
,
sua soma é o ponto
O múltiplo escalar de um ponto
por um
número é o ponto
Verifica-se facilmente que essas duas operações satisfazem os axiomas de espaço
vetorial. O ponto é denominado origem de
1.2 Def. Sejam as funções de
tais que, para cada ponto
,
Essas funções chamam-se funções coordenadas naturais de
. Também se usa a notação
.
Vale, então, a identidade
1.3 Def. Uma função real sobre
(
) é diferenciável (ou de classe
) se todas as derivadas
parciais de , de todas as ordens, existirem e forem contínuas.
Se e são funções reais diferenciáveis, e são também
diferenciáveis.
Comentário A diferenciação é uma operação local: para calcular
em
basta saber os valores de
para todos os
suficientemente próximos de . Por isso
a definição acima é excessivamente restritiva. O domínio de pode ser
um aberto que contenha (e não necessariamente todo o
).
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Henrique Fleming
2003-08-11