Derivadas direcionais

Associada a cada vetor tangente $v_p \in \mathbb{R}^3$ está a reta

$$t\mapsto p+tv$$

Seja $f$ uma função diferenciável em $\mathbb{R}^3$, e considere a função

$$t\mapsto f(p+tv)\;,$$

que é uma função diferenciável na reta real. É claro que a derivada desta função de $t$, em $t=0$, nos diz como $f$ varia ao longo da reta que tem a direção de $v$.
3.1 Def. Seja $f:\mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}$ diferenciável, seja $v_p$ um vetor tangente a $\mathbb{R}^3$. O número

$$v_p[f]=\frac{d}{dt}\left(f(p+tv)\right)_{t=0}$$

é a derivada de $f$ em relação a $v_p$. Outra denominação usada é a de derivada direcional na direção de $v_{p}$.
Exemplo:

$$f = x^2yz$$

$$p = (1,1,0)$$

$$v = (1,0,-3)$$

$$p+tv = (1+t,1,-3t)$$

$$f(p+tv) = (1+t)^2.1.(-3t)=-3t-6t^2-3t^3$$

e então

$$\frac{d}{dt}\left(f(p+tv)\right)=-3-12t-9t^2$$

Para $t=0$,

$$v_p[f]=-3$$

O cálculo de $v_p[f]$ pode ser reduzido ao cálculo das derivadas parciais no ponto $p$, como mostram os lemas a seguir.

3.2 Lema Se $v_p=(v_1,v_2,v_3)$ é um vetor tangente a $\mathbb{R}^3$, então

$$v_p[f]=\sum v_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$$

Prova

$$f(p+tv) = f(p_1+tv_1,p_2+tv_2,p_3+tv_3)$$

$$\frac{d}{dt}(p_i+tv_i) = v_i$$

$$v_p[f] = \frac{d}{dt}\left(f(p+tv)\right)_{t=0}=\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)v_i$$

As principais propriedades dessa derivada direcional são:

3.3 Teorema Sejam $f,g : \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}$, $v_p$ e $w_p$ vetores tangentes, $a$ e $b$, números. Então,

$$(av_p+bw_p)[f]=av_p[f]+bw_p[f]$$ (1)

$$v_p[af+bg]=av_p[f]+bv_p[g]$$ (2)

$$v_p[fg]=v_p[f].g(p)+f(p).v_p[g]$$ (3)

de demonstração imediata.
As primeiras duas propriedades podem ser sumarizadas assim: $v_p[f]$ é linear em $v_p$ e em $f$. A terceira é a propriedade de Leibnitz. Todos os tipos de derivação que vamos encontrar têm essa característica: linearidade e Leibnitz.

Dado um campo vetorial $V$ e uma função $f$, podemos falar na função $V[f]$. De fato, em cada ponto $p$ essa função tem o valor $V_p[f]$, ou seja, a derivada de $f$ em relação ao vetor tangente $V(p)$.

Seja $U_1,U_2,U_3$ o campo de referenciais naturais em $\mathbb{R}^3$. Lembrando que

$$U_{1\;p} = (1,0,0)_p$$ (239)

$$U_{2\;p} = (0,1,0)_p$$ (240)

$$U_{3\;p} = (0,0,1)_p$$ (241)

temos, evidentemente, que $U_i[f]=\frac{\partial f}{\partial x^i}$.

Por exemplo:

$$U_1(p)[f]=\frac{d}{dt}\left(f(p_1+t,p_2,p_3)\right)_{t=0}=\frac{\partial f}{\partial x^1}(p)$$

3.4 Corolário. Sejam $V$ e $W$ campos vetoriais em $\mathbb{R}^3$ e $f,g,h$ funções reais $(\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R})$.

$$(fV+gW)[h]=fV[h]+gW[h]$$ 1.

$$V[af+bg]=aV[f]+bV[g]$$ 2.

$$V[fg]=V[f].g+fV[g]$$ 3.

A demonstração é simples. Exemplo:

$$V(p)[fg]=V(p)[f].g(p)+f(p)[g]$$

ou seja:

$$V[fg](p)=V[f].g(p)+fV[g](p)$$

Para simplificar a notação, nem sempre vamos escrever o ponto de aplicação de um vetor $v_p$.