Um campo vetorial é uma função que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. O exemplo mais concreto e elementar é o campo de velocidades de um fluido1. Um fluido é um meio contínuo, e isto se reflete na variação contínua dos valores da velocidade, quando se percorre o fluido.
Matematicamente, um campo vetorial é uma função
Na expressão acima, o do lado direito é considerado como o espaço vetorial usual construído sobre o conjunto . Então, a cada ponto do espaço, dado por três coordenadas, associa-se uma outra terna de números, que são as componentes de um vetor numa base dada. Uma função como a descrita acima, denotada mais simplesmente por , pode ser escrita como uma terna de funções . Diz-se que é contínua e diferenciável quando cada uma das três componentes, , , for contínua e diferenciável. Como estas funções são funções de , suas continuidade e diferenciabilidade já foram definidas e descritas em ``Diferenciabilidade for the practical man''.
Resumindo, um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor, cujas componentes variam, de ponto para ponto, de maneira contínua e diferenciável. Isto significa que podemos calcular as derivadas parciais dessas componentes, obtendo novas funções contínuas. Um campo vetorial constante, ou seja, que associa a cada ponto do espaço o mesmo vetor, é chamado, entre os físicos, de campo uniforme. Entre os físicos prefere-se usar o termo campo constante para um campo cujos valores (ou seja, cujos vetores) independem do tempo. Portanto, quando se falar em campo constante, é necessário explicar-se.
A descrição de um fluido utiliza também campos escalares. Estes são, simplesmente funções
Seja um campo escalar. Podemos calcular o seu gradiente, , e temos
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