Introdução

Como é sugerido pelo título, estas notas apresentam o formalismo dos campos vetoriais na forma em que é normalmente usado pelos físicos (considerados aqui practical men!). Por segurança, é bom sempre acender uma vela a Deus e outra ao diabo. Por isso, no final deste texto, apresento a formulação que os matemáticos do século XX preferem. Os resultados são os mesmos, é claro, mas há avanços conceituais importantes. Os físicos também já estão tendo de aprender essas novas idéias, de maneira que eu recomendo a todos a leitura. Essa parte não será usada no curso, a não ser por uma ou outra alusão.

Um campo vetorial é uma função que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. O exemplo mais concreto e elementar é o campo de velocidades de um fluido¹. Um fluido é um meio contínuo, e isto se reflete na variação contínua dos valores da velocidade, quando se percorre o fluido.

Matematicamente, um campo vetorial é uma função

$$\vec{f}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$$

que é contínua e diferenciável. O que isto significa, vamos explicar agora.

Na expressão acima, o $\mathbb{R}^3$ do lado direito é considerado como o espaço vetorial usual construído sobre o conjunto $\mathbb{R}^3$. Então, a cada ponto do espaço, dado por três coordenadas, associa-se uma outra terna de números, que são as componentes de um vetor numa base dada. Uma função como a descrita acima, denotada mais simplesmente por $\vec{f}(x,y,z)$, pode ser escrita como uma terna de funções $(f_{x}(x,y,z), f_{y}(x,y,z), f_{z}(x,y,z))$. Diz-se que $\vec{f}$ é contínua e diferenciável quando cada uma das três componentes, $f_{x}(x,y,z)$, $f_{y}(x,y,z)$, $f_{z}(x,y,z)$ for contínua e diferenciável. Como estas funções são funções de $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$, suas continuidade e diferenciabilidade já foram definidas e descritas em ``Diferenciabilidade for the practical man''.

Resumindo, um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor, cujas componentes variam, de ponto para ponto, de maneira contínua e diferenciável. Isto significa que podemos calcular as derivadas parciais dessas componentes, obtendo novas funções contínuas. Um campo vetorial constante, ou seja, que associa a cada ponto do espaço o mesmo vetor, é chamado, entre os físicos, de campo uniforme. Entre os físicos prefere-se usar o termo campo constante para um campo cujos valores (ou seja, cujos vetores) independem do tempo. Portanto, quando se falar em campo constante, é necessário explicar-se.

A descrição de um fluido utiliza também campos escalares. Estes são, simplesmente funções

$$f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$

contínuas e diferenciáveis. Um exemplo é a densidade do fluido, que pode variar de ponto a ponto (como a densidade do ar, que depende da altitude).

Seja $\phi(x,y,z)$ um campo escalar. Podemos calcular o seu gradiente, $\vec{\nabla}\phi(x,y,z)$, e temos

$$\vec{\nabla}\phi(x,y,z)=\frac{\partial \phi}{\partial x}\vec{i} +... ...phi}{\partial y}\vec{j}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\vec{k}=\vec{V}(x,y,z)$$ (1)

ou seja, o gradiente de um campo escalar é um campo vetorial. Campos vetoriais que são obtidos desta forma têm um papel muito importante na física, como veremos mais tarde.