Campo de um fio com corrente constante

Para simplificar suponhamos que a corrente seja produzida por um feixe de elétrons com velocidade constante (sem a contrapartida de íons positivos, como num fio). Isto será simbolizado por um fio infinito (que poderia ser um tubo oco, dentro do qual estariam passando os elétrons).

Um fio infinito ao longo do eixo $x$.

O sistema $S$, que possui velocidade $v$ em relação ao sistema $S'$, enxerga os elétrons parados ($v$ é também a velocidade dos elétrons!). Neste sistema ($S$), então, o campo magnético é nulo, e o campo elétrico é perpendicular ao fio, radial e de módulo

$$\ E=\frac{2\lambda}{r}$$ (187)

onde $\lambda$ é a densidade linear de carga. Este resultado pode ser facilmente obtido usando-se o teorema de Gauss, por exemplo. No ponto $P$ (veja a figura), temos

$$\ E_x(P)=0 \; \; \; \; \; B_x(P)=B_y(P)=B_z(P)=0$$ (188)

$$\ E_y(P)=\frac{2\lambda}{b}$$ (189)

$$\ E_z(P)=0$$ (190)

Usando as fórmulas de transformação obtemos

$$\ E_x'(P)=0 \; \; \; \; \; B_x'(P)=0$$ (191)

$$\ E_y'(P)=\gamma\frac{2\lambda}{b} \; \; \; \; B_y'(P)=0$$ (192)

$$\ E_z'(P)=0 \; \; \; \; B_z'(P)=\beta \gamma\frac{2\lambda}{b}$$ (193)

Em suma, o campo magnético é

$$\ B'_z(P)=\beta\gamma \frac{2\lambda}{b}$$ (194)

Se um observador ``em repouso'' observa uma carga por unidade de comprimento $\lambda$ e uma corrente zero, quais serão a densidade de carga e a corrente observadas por um observador de velocidade $-v$? Suponhamos que o fio tenha uma secção reta de área $dS$. Tomando um comprimento $dl$ do fio, temos um volume $dV=dl\;dS$. A carga neste volume é $Q$.

$$\ Q=\rho dV=\rho dS dL = \lambda\; dl$$ (195)

Logo, $\lambda = \rho \; dS$. Então $\lambda$ se transforma como $\rho$, pois $dS$, transversal à velocidade, é invariante. Mas, como $j^{\mu}$ é um 4-vetor,

$$j^{' 0} = \gamma j^0 + \beta\gamma j^1$$ (196)

$$J^{'1} = \beta \gamma j^0 + \gamma j^1$$ (197)

e $J^0=c\rho$ (e, neste caso, $j^1=0$). Segue então que

$$j^{' 0} = \gamma c \rho \;\; ou \;\; \rho'= \gamma\rho$$ (198)

$$j^{' 1} = \beta\gamma c\rho \; \; ou \; \; j^{'1}=\gamma \rho v$$ (199)

A corrente observada por $S'$ é

$$\ i=j^{'1}dS=v\gamma\rho dS=v\gamma \lambda$$ (200)

Levando este resultado à Eq.(194),

$$\ B'_z(P)=\beta\gamma\frac{2\lambda}{b}=\frac{2i}{cb}$$ (201)

que é o resultado que obtivemos antes pela lei circuital de Ampère. Pode-se ainda calcular o campo elétrico em $S'$, ou seja, o campo elétrico de um fio infinito por onde passa uma corrente $i$. Este campo é, como vimos,

$$\ E'_y(P)=\frac{2\gamma \lambda}{b}=\frac{2 \;i}{bv}$$ (202)

que é um resultado bastante interessante, pois não depende só da corrente, mas também da velocidade. Assim, medindo-se simultaneamente os dois campos, pode-se determinar a corrente (através de $\vec{B}$) e depois a velocidade das partículas, através de $\vec{E}$.