Partícula com velocidade constante

Uma partícula se move com velocidade constante $\vec{V}$. Pergunta-se quais os campos criados por ela. Vamos resolver este problema por meio de uma trnsformação de Lorentz adequada. Suponhamos que a partícula esteja em repouso no sistema de referência $S'$. O observador em $S$ vai, então, vê-la nas condições do problema. No sistema $S'$, o campo da partícula é o campo coulombiano. No ponto $P$ (veja a figura) o campo é

$$\ \vec{E}'(P) = \frac{q}{r^{'2}}\frac{\vec{r}}{r'}$$ (171)

com $(r')^2=b^2+v^2(t')^2$, e suas componentes nas direções $x$ e $y$.

Temos

$$E'_x(P) = \frac{q}{b^2+v^2(t')^2}\frac{-vt}{\sqrt{b^2+v^2(t')^2}}$$ (172)

$$E'_y(P) = \frac{q}{b^2+v^2(t')^2}\frac{b}{\sqrt{b^2+v^2(t')^2}}$$ (173)

$$E'_z(P) = 0$$ (174)

Note-se agora que

$$\ t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (175)

e, como o ponto $P$ está em $x=0$,

$$\ t'= \gamma t$$ (176)

Nas coordenadas do observador em $S$, então,

$$E'_x(P) = \frac{-qv\gamma t}{\left(b^2+v^2\gamma^2 t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$ (177)

$$E'_y(P) = \frac{qb}{\left(b^2+v^2\gamma^2 t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$ (178)

$$E'_z(P) = 0$$ (179)

Usando agora as fórmulas de transformação (Eq.164 e seguintes),

$$E_x(P) = \frac{-qv\gamma t}{\left(b^2+v^2\gamma^2 t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$ (180)

$$E_y(P) = \frac{\gamma q b}{\left(b^2+v^2\gamma^2t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$ (181)

$$E_z(P) = 0$$ (182)

$$B_x(P) = 0$$ (183)

$$B_y(P) = 0$$ (184)

$$B_z(P) = \frac{\beta \gamma q b}{\left(b^2+v^2\gamma^2t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$ (185)

Para entender a aparência do campo elétrico, note-se que

$$\ \frac{E_x}{E_y}=\frac{-q \gamma v t}{\gamma q b}=-\frac{vt}{b}=-\frac{x}{y}$$ (186)

isto é, o campo $\vec{E}$, como o $\vec{E}'$, é também radial. Como $E_x'= E_x$ e $E_y'=\frac{E_y}{\gamma}$, o campo transversal é mais forte do que o longitudinal, em relação ao campo $\vec{E}'$.