Teoria de Becker, Sauter

Segundo esta teoria, um supercondutor é um condutor ôhmico de resistividade nula, ou, de condutividade infinita. Condutores ôhmicos satisfazem a equação constitutiva

$$\vec{j}=\sigma \vec{E}$$ (1)

o que implica numa potência dissipativa $\vec{j}.\vec{E}$. Os supercondutores não apresentam dissipação , logo, dentro deles, segundo esta teoria,

$$\vec{E}=0$$ (2)

o que é também consistente com a condutividade infinita e corrente finita na equação (1).

Pela equação de Maxwell

$$rot \vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$ (3)

temos, então, que, dentro do condutor,

$$\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0$$ (4)

Seja $\vec{B}_0$ o valor do campo magnético dentro do condutor no instante em que este perdeu a resistência. Então,

$$\vec{B}=\vec{B}_0$$ (5)

enquanto o material for supercondutor.

Vamos supor sempre que o supercondutor tenha $\mu=1$, o que é bem verificado experimentalmente.

Então $\vec{B}=\vec{H}=\vec{B}_0=\vec{H}_0$ Este resultado mostra que, quando o material se torna supercondutor, o campo magnético em seu interior é ``congelado'' no valor $\vec{B}_0$. Alterando-se o campo magnético externo (sem atingir o campo crítico), aparecerão então correntes superficiais que impedirão que o campo no interior se altere. Note-se que, como

$$\vec{j}=\frac{c}{4\pi}rot \vec{M}$$ (6)

temos também que, em qualquer instante,

$$\vec{j}=\vec{j}_0$$ (7)

com

$$\vec{j}_0=\frac{c}{4\pi}rot\;\vec{H}_0$$ (8)

Se correntes externas forem introduzidas no condutor perfeito, elas fluirão como correntes superficiais, deixando a distribuição volumétrica inalterada.

O cálculo das correntes superficiais é bastante simples. A equação de Maxwell relevante é

$$rot \vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{D}} {partial t}$$ (9)

No caso estático temos

$$rot \vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}$$ (10)

A versão integral dessa equação é

$$\oint \vec{H}.d\vec{l}=\frac{4\pi}{c}i$$ (11)

onde $i$ é a corrente que atravessa o contorno orientado como na figura.

Corte do condutor. A normal $\vec{\mathcal N}$ é
perpendicular ao papel, saindo dele.

Aplicada ao contorno da figura, e fazendo os lados paralelos à superfície tenderem um ao outro (e à superfície), tem-se

$$(H_0)_t \Delta l- (H_e)_t\Delta l = \frac{4\pi}{c}\vec{g}.\vec{N} \Delta l$$ (12)

onde $\vec{g}$ é a densidade superficial de corrente. A maneira mais geral de se escrever esta expressão é

$$\vec{g}=\frac{c}{4\pi}\vec{n}\times\left(\vec{H}_e-\vec{H}_0\right)$$ (13)

onde $\vec{n}$ é a normal externa à superfície do condutor.

No caso em que não há correntes externas, as linhas de $\vec{g}$ são fechadas, e aparece um momento magnético no condutor, devido a elas. Para o caso de um condutor cilíndrico longo em um campo uniforme $\vec{H}_e$ paralelo ao eixo do cilindro,

$$m=\frac{g \Delta l}{c}A$$ (14)

onde $m$ é o momento de dipolo de um trecho $\Delta l$ do cilindro. O momento de dipolo por unidade de volume é a magnetização , que é, então, dada por

$$M = \frac{g}{c}$$ (15)

$$M = \left\vert\frac{H_e-H_0}{4\pi}\right\vert$$ (16)

ou, em forma vetorial,

$$\vec{M}=-\frac{1}{4\pi}\left(\vec{H}_e-\vec{H}_0\right)$$ (17)