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Na ausência de campo magnético a transição para o estado supercondutor é de segunda ordem.
O parâmetro de ordem, denotado por
, será tal que
A idéia de partida é que
representa uma função de onda efetiva
dos elétrons supercondutores. Logo, a fase de
não deve ser determinável,
isto é, nas quantidades observáveis devem ocorrer apenas combinações de
e
invariantes pela transformação
,
sendo
um número real. A normalização é, por enquanto, arbitrária.
Considere um supercondutor uniforme na ausência de um campo magnético, e suponha que que
seja independente da posição . De acordo com a teoria das transições de fase de segunda
ordem, temos, para
suficientemente próximo de
,
![\begin{displaymath}
F_{s0}=F_{n0}+\alpha\vert\psi\vert^2+\frac{\beta}{2}\vert\psi\vert^4
\end{displaymath}](img350.png) |
(159) |
onde
e
são as energias livres (a campo externo zero) da fase supercondutora
e normal, respectivamente, e
e
são funções da temperatura que têm
as propriedades gerais:
No equilíbrio, naturalmente,
![\begin{displaymath}
\frac{\partial F_{s0}}{\partial \vert\psi\vert^2}=0 \;\;\;\; \frac{\partial^2 F_{s0}}{
\partial(\vert\psi\vert^2)^2}>0
\end{displaymath}](img359.png) |
(164) |
sto é
![\begin{displaymath}
\alpha+\beta\vert\psi\vert^2=0
\end{displaymath}](img360.png) |
(165) |
dando
![\begin{displaymath}
\vert\psi\vert^2=-\frac{\alpha}{\beta}
\end{displaymath}](img361.png) |
(166) |
Usando
![\begin{displaymath}
\alpha(t)=\alpha_{c}+\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c})=\left(\frac{d\alpha}
{dT}\right)_{c}(T-T_{c})
\end{displaymath}](img362.png) |
(167) |
![\begin{displaymath}
\beta(T)=\beta_{c}
\end{displaymath}](img363.png) |
(168) |
temos
![\begin{displaymath}
\vert\psi\vert^2=\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c}...
...=
\frac{T_{c}-T}{\beta_{c}}\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}
\end{displaymath}](img364.png) |
(169) |
e
![\begin{displaymath}
F_{s0}=F_{n0}-\frac{\alpha^2}{\beta_{c}}+\frac{\beta_{c}}{2}\frac{\alpha^2}{\beta_{c}^2}
=F_{n0}-\frac{\alpha^2}{2\beta_{c}}
\end{displaymath}](img365.png) |
(170) |
Como vimos anteriormente,
![\begin{displaymath}
F_{s0}-F_{n0}\approx -\frac{H_{cb}^2}{8\pi}
\end{displaymath}](img366.png) |
(171) |
logo,
![\begin{displaymath}
H_{cb}^2=\frac{4\pi}{\beta_{c}}\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c})^2
\end{displaymath}](img367.png) |
(172) |
que é uma relação muito bem verificada experimentalmente.
Examinemos agora o efeito, sobre o condutor, de um campo magnético independente do tempo.
Para se obter
é preciso somar a
duas contribuições :
(1) A energia do campo:
(2) A energia proveniente do aparecimento possível de um gradiente de
, por influência
do campo externo.
Vamos estimar esta segunda energia. Ela é função do gradiente de
, e deve ter a
estrutura
![\begin{displaymath}
f\left[\vec{\nabla}\psi^*.\vec{\nabla}\psi\right] \; .
\end{displaymath}](img370.png) |
(173) |
Para pequenos valores de
, podemos escrever
![\begin{displaymath}
f\left[\vec{\nabla}\psi^*.\vec{\nabla}\psi\right]=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\vec{\nabla}\psi\vert^2
+\ldots
\end{displaymath}](img372.png) |
(174) |
onde
é um parâmetro. O sistema deve, contudo, ser gauge-invariante, e isto implica
em que a dependência seja em
![\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2
\end{displaymath}](img373.png) |
(175) |
Logo, em primeira aproximação ,
![\begin{displaymath}
F_{sH}=F_{s0}+\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2
\end{displaymath}](img374.png) |
(176) |
A equação para
pode agora ser obtida impondo-se que
![\begin{displaymath}
\int d^3x F_{sH}
\end{displaymath}](img375.png) |
(177) |
seja estacionário por variações de
.
A energia livre total é
![\begin{displaymath}
\int d^3x F_{s0}+\int d^3x\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\int ...
...t\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2
\end{displaymath}](img376.png) |
(178) |
Desses termos, só o último depende de
. Escrito em detalhe, ele é:
Isto é, a parte da energia dependente de
é:
![\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\int d^3x\psi^*\left(-i\hbar
\vec{\nabla}-\frac{...
...hbar
\vec{\nabla}\psi-\frac{ie}{c}\vec{A}\psi\right).\vec{n}dS
\end{displaymath}](img378.png) |
(179) |
Derivando em relação a
e igualando a zero, temos
![\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left(-i\hbar \vec{\nabla}-\frac{e}{c}\vec{A}\right)^2\psi
+ \frac{\partial F_{s0}}{\partial \psi^*}=0
\end{displaymath}](img379.png) |
(180) |
e
![\begin{displaymath}
\vec{n}.\left[-i\hbar\vec{\nabla}-\frac{e}{c}\vec{A}\psi \right]=0 \;
,
\end{displaymath}](img380.png) |
(181) |
sendo a primeira interpretada como a equação de movimento, e a
segunda como uma condição de contorno.
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Henrique Fleming
2002-04-15