Teoria de Ginzburg-Landau

Na ausência de campo magnético a transição para o estado supercondutor é de segunda ordem. O parâmetro de ordem, denotado por $\psi$, será tal que

$$\psi = 0 \;\;\;\; T>T_{c}$$ (157)

$$\psi \neq 0 \;\;\;\; T<T_{c}$$ (158)

A idéia de partida é que $\psi$ representa uma função de onda efetiva dos elétrons supercondutores. Logo, a fase de $\psi$ não deve ser determinável, isto é, nas quantidades observáveis devem ocorrer apenas combinações de $\psi$ e $\psi^*$ invariantes pela transformação $\psi \rightarrow e^{i \alpha}\psi$, sendo $\alpha$ um número real. A normalização é, por enquanto, arbitrária.

Considere um supercondutor uniforme na ausência de um campo magnético, e suponha que que $\psi$ seja independente da posição . De acordo com a teoria das transições de fase de segunda ordem, temos, para $T$ suficientemente próximo de $T_{c}$,

$$F_{s0}=F_{n0}+\alpha\vert\psi\vert^2+\frac{\beta}{2}\vert\psi\vert^4$$ (159)

onde $F_{s0}$ e $F_{n0}$ são as energias livres (a campo externo zero) da fase supercondutora e normal, respectivamente, e $\alpha$ e $\beta$ são funções da temperatura que têm as propriedades gerais:

$$\alpha_{c} = 0$$ (160)

$$\beta_{c} > 0$$ (161)

$$\alpha(T) > 0 \;\;\;\; para \;\;\; T>T_{c}$$ (162)

$$\alpha(T) < 0 \;\;\;\; para \;\;\; T< T_{c}$$ (163)

No equilíbrio, naturalmente,

$$\frac{\partial F_{s0}}{\partial \vert\psi\vert^2}=0 \;\;\;\; \frac{\partial^2 F_{s0}}{ \partial(\vert\psi\vert^2)^2}>0$$ (164)

sto é

$$\alpha+\beta\vert\psi\vert^2=0$$ (165)

dando

$$\vert\psi\vert^2=-\frac{\alpha}{\beta}$$ (166)

Usando

$$\alpha(t)=\alpha_{c}+\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c})=\left(\frac{d\alpha} {dT}\right)_{c}(T-T_{c})$$ (167)

$$\beta(T)=\beta_{c}$$ (168)

temos

$$\vert\psi\vert^2=\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c}... ...= \frac{T_{c}-T}{\beta_{c}}\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}$$ (169)

e

$$F_{s0}=F_{n0}-\frac{\alpha^2}{\beta_{c}}+\frac{\beta_{c}}{2}\frac{\alpha^2}{\beta_{c}^2} =F_{n0}-\frac{\alpha^2}{2\beta_{c}}$$ (170)

Como vimos anteriormente,

$$F_{s0}-F_{n0}\approx -\frac{H_{cb}^2}{8\pi}$$ (171)

logo,

$$H_{cb}^2=\frac{4\pi}{\beta_{c}}\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c})^2$$ (172)

que é uma relação muito bem verificada experimentalmente.

Examinemos agora o efeito, sobre o condutor, de um campo magnético independente do tempo. Para se obter $F_{sH}$ é preciso somar a $F_{s0}$ duas contribuições :
(1) A energia do campo: $\frac{H^2}{8\pi}$
(2) A energia proveniente do aparecimento possível de um gradiente de $\psi$, por influência do campo externo.

Vamos estimar esta segunda energia. Ela é função do gradiente de $\psi$, e deve ter a estrutura

$$f\left[\vec{\nabla}\psi^*.\vec{\nabla}\psi\right] \; .$$ (173)

Para pequenos valores de $\vert\vec{\nabla}\psi\vert$, podemos escrever

$$f\left[\vec{\nabla}\psi^*.\vec{\nabla}\psi\right]=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\vec{\nabla}\psi\vert^2 +\ldots$$ (174)

onde $m$ é um parâmetro. O sistema deve, contudo, ser gauge-invariante, e isto implica em que a dependência seja em

$$\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2$$ (175)

Logo, em primeira aproximação ,

$$F_{sH}=F_{s0}+\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2$$ (176)

A equação para $\psi$ pode agora ser obtida impondo-se que

$$\int d^3x F_{sH}$$ (177)

seja estacionário por variações de $\psi^*$. A energia livre total é

$$\int d^3x F_{s0}+\int d^3x\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\int ... ...t\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2$$ (178)

Desses termos, só o último depende de $\psi$. Escrito em detalhe, ele é:

$$\begin{eqnarray*} & &\frac{1}{2m}\int d^3x\left(i\hbar \vec{\nabla}\psi^*-\frac{... ...ec{\nabla}\psi)+ \frac{e^2}{c^2}\vec{A}\psi^*.\vec{A}\psi\right] \end{eqnarray*}$$

Isto é, a parte da energia dependente de $\psi$ é:

$$\frac{1}{2m}\int d^3x\psi^*\left(-i\hbar \vec{\nabla}-\frac{... ...hbar \vec{\nabla}\psi-\frac{ie}{c}\vec{A}\psi\right).\vec{n}dS$$ (179)

Derivando em relação a $\psi^*$ e igualando a zero, temos

$$\frac{1}{2m}\left(-i\hbar \vec{\nabla}-\frac{e}{c}\vec{A}\right)^2\psi + \frac{\partial F_{s0}}{\partial \psi^*}=0$$ (180)

e

$$\vec{n}.\left[-i\hbar\vec{\nabla}-\frac{e}{c}\vec{A}\psi \right]=0 \; ,$$ (181)

sendo a primeira interpretada como a equação de movimento, e a segunda como uma condição de contorno.