Argumento de Rose-Innes, Rhoderic

Considere um supercondutor com a forma de um longo bastão. Quando ele é resfriado a uma temperatura $T < T_{c}$, torna-se supercondutor. Isto quer dizer que, pata $T < T_{c}$ os potenciais termodinâmicos da fase supercondutora têm um valor menor do que os análogos da fase normal (se não, o material permaneceria na fase normal). Suponhamos que a essa temperatura e na ausência de campo magnético externo ($\vec{H}=0$) a energia livre por unidade de volume no estado supercondutor seja $F_{s}(T,0)$, e na fase normal seja $F_{n}(T,0)$.

Suponhamos agora que um campo magnético seja ligado paralelamente ao bastão , e vejamos como vão variar os potenciais termodinâmicos. A energia livre de todo o sistema é aumentada de

$$dF=\frac{1}{4\pi}\vec{H}.d\vec{B}=d\left(\frac{\vec{H}.\vec{B}}{4\pi}\right) -\frac{1}{4\pi}\vec{B}.d\vec{H}$$ (144)

Definindo o novo potencial termodinâmico $\tilde{F}$, temos

$$d\tilde{F}=-\frac{1}{4\pi}\vec{B}.d\vec{H}$$ (145)

Queremos isolar nesta expressão o termo que corresponde à mudança da energia livre do bastão supercondutor. O processo físico responsável por isto é a magnetização do bastão . Como se tem

$$\vec{B}=\vec{H}+4\pi\vec{M}$$ (146)

pomos

$$d\tilde{F}=-\frac{1}{4\pi}\vec{H}.d\vec{H}-\vec{M}.d\vec{M}$$ (147)

de onde se vê que a variação correspondente ao supercondutor é

$$d\tilde{F}=-\vec{M}.d\vec{M}$$ (148)

Mas, no supercondutor,$\vec{B}=0$, logo, $\vec{M}=-\frac{\vec{M}}{4\pi}$. Logo,

$$d\tilde{F}=\frac{1}{4\pi}\vec{H}.d\vec{H}$$ (149)

O aumento de energia livre, uma vez aplicado o campo, é, então ,

$$\Delta \tilde{F}=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\vec{H}}\vec{H}.d\vec{H}=\frac{H^2}{8\pi}$$ (150)

isto é

$$\tilde{F}_{s}(T,H)=\tilde{F}_{s}(T,0)+\frac{h^2}{8\pi}$$ (151)

Logo, a aplicação de um campo externo aumenta a energia livre da fase supercondutora. A condição para que o material se mantenha supercondutor é que

$$\tilde{F}_{s}(T,H)-\tilde{F}_{n}(T,H)<0$$ (152)

e, como $\tilde{F}_{n}(T,H)\approx \tilde{F}_{n}(T,0)$,

$$\tilde{F}_{s}(T,H)-\tilde{F}_{n}(T,0)<0$$ (153)

o que dá, ainda,

$$\tilde{F}_{n}(T,0)-\tilde{F}_{s}(T,0)>\frac{H^2}{8\pi}$$ (154)

O campo crítico é aquele para o qual

$$\frac{h_{c}^{2}}{8\pi}=\tilde{F}_{n}(T,0)-\tilde{F}_{s}(T,0)$$ (155)

Uma expressão útil para o campo crítico é obtida supondo-se que $\tilde{F}_{n}(T,0)\approx \tilde{F}_{n}(T_{c},0)$. Então ,

$$\frac{H_{c}^{2}}{8\pi}\approx \tilde{F}_{n}(T_{c},0)-\tilde{F}_{s}(T,0)$$ (156)