A função delta de Dirac

Considere a função $\delta_{\epsilon}(p)$, definida assim:

$$\begin{eqnarray*} \delta_{\epsilon}(p) & = & 0 \;\; para \;\; p > \epsilon \\ ... ... & \frac{1}{2\epsilon} \;\; para \;\; -\epsilon < p < \epsilon \end{eqnarray*}$$

Temos, claramente,

$$\int _{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(p) dp = \int_{-\epsilon}^{\epsilon}\frac{1}{2\epsilon}dp =1$$ (33)

Seja $f(p)$ uma função contínua. Então,

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(p^{\prime})\delta_{\epsilon}(p-p^{... ...ilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon}f(p^{\prime})dp^{\prime}$$ (34)

No limite para $\epsilon \rightarrow 0$, esta última integral dá

$$2\epsilon f(p)$$

de forma que a Eq.(34) pode ser escrita

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(p^{\prime})\delta_{\epsilon}(p-p^{\prime}) dp^{\prime} = f(p)$$ (35)

A função delta de Dirac, $\delta(p)$ é definida, simbolicamente, como o limite, para $\epsilon \rightarrow 0$, da função $\delta_{\epsilon}(p)$. Suas propriedades, que podem ser motivadas por esse limite, podem ser sintetizadas assim:

$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx & = & 1\\ \delta(x) & ... ...q 0\\ \int_{-\infty}^{\infty}dx \; f(x)\delta(x-a) & = & f(a) \end{eqnarray*}$$

Nessas relações a integral não precisa realmente ir de $-\infty$ a $\infty$. Basta que seja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da função delta se anula.


Estritamente, tal função não existe. Trata-se de um símbolo que abrevia muito os cálculos. Atendo-se às regras exibidas, nenhum dano é causado, a não ser à lógica, a vítima usual. A teoria que justifica essas operações e restitui a implacabilidade da lógica foi desenvolvida pelo grande matemático francês Laurent Schwartz, e se chama ``teoria das distribuições''. Para um tratamento adequado da ``função delta'' recomendamos as notas que se encontram no site do professor João Carlos Alves Barata,no endereço:

http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap12.pdf

Outras relações importantes envolvendo a ``função delta'' são as seguintes:

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk e^{i k x}$$ (36)

$$\delta(-x) = \delta(x)$$ (37)

$$\delta\left(f(x)\right) = \frac{1}{\vert\frac{df}{dx}\vert _{x=x_0}}\delta(x-x_0)\;\;, sendo \;\; f(x_0)=0$$ (38)

$$\delta(ax) = \frac{1}{\vert a\vert}\delta(x)$$ (39)

$$\delta(\vec{r}) = \delta(x)\delta(y)\delta(z)$$ (40)

onde, nesta última, se tem $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.