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$n$ é constante


\begin{displaymath}
\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S = \; cte
\end{displaymath}

de onde segue que $\vec{\nabla}S = \; cte$, ou seja,

\begin{displaymath}
S=n(\alpha x+\beta y +\gamma z)
\end{displaymath}

Neste caso

\begin{displaymath}
\vec{\nabla}S = n(\alpha \vec{\nabla} x+\beta \vec{\nabla} ...
...
\vec{\nabla} z)=n(\alpha\vec{i}+\beta\vec{j}+\gamma\vec{k})
\end{displaymath}

e
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} S. \vec{\nabla} S=n^2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)=n^2
\end{displaymath} (17)

Logo,
\begin{displaymath}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \; ,
\end{displaymath} (18)

e as superfícies
\begin{displaymath}
S=n(\alpha x+\beta y+\gamma z)= \; cte.
\end{displaymath} (19)

são planos. Ora, as superfícies $S=cte.$ são as frentes de onda, logo a propagação aqui descrita é a de ondas planas. Note-se que, se $\vec{n}$ é um vetor unitário, isto é, se $\vec{n}.\vec{n}=1$, temos, com $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$,

\begin{displaymath}
\vec{n}.\vec{r}=n_xx+n_yy+n_zz
\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}
n_x^2+n_y^2+n_z^2=1
\end{displaymath}

Comparando com a Eq.(18) vemos que $n_x=n\alpha$, $n_y=n\beta$ e $n_z=n\gamma$, razão pela qual $alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são os `` cosenos diretores'' da direção $\vec{n}$.

Henrique Fleming 2002-04-24