Equações de Maxwell

Suponhamos que a propagação da luz se dê em um meio material simples, descrito por uma constante dielétrica $\epsilon$ e uma permeabilidade magnética $\mu$. Se o meio for homogêneo e se $\vec{j}=0$ e $\rho =0$, teremos as equações de onda

$$\vec{\nabla}^2 \vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} =0$$ (1)

para o campo elétrico, e

$$\vec{\nabla}^2 \vec{B}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}$$ (2)

com

$$v=\frac{c}{\sqrt{\mu\epsilon}}$$

Estas equações seguem diretamente das equações de Maxwell, como vimos anteriormente. Se a onda for monocromática, a dependência temporal será

$$e^{-i\omega t}$$

e a equação 1 fica

$$\vec{\nabla}^2 \vec{E}+\frac{\omega^2}{v^2}\vec{E}=0$$ (3)

e, pondo $k=\frac{\omega}{v}=\sqrt{\epsilon\mu}\frac{\omega}{c}$, temos

$$\vec{\nabla}^2 \vec{E}+k^2\vec{E}=0 \; .$$ (4)

Vamos nos restringir a ondas escalares, ou seja, vamos ignorar que os campos são vetores. Perderemos com isso toda a variedade de fenômenos associados à polarização. No entanto, muitos fenômenos, aqueles que são diretamente associados ao caráter ondulatório, ao fenômeno da interferência, serão ainda razoavelmente descritos. Seja $u$ o campo escalar (por exemplo, uma das componentes de $\vec{E}$). A equação é

$$\vec{\nabla}^2 u+k^2u=0 \; .$$ (5)