H. Fleming
Instituto de Física, Universidade de São Paulo
June 14, 2001
Entre as muitas excelências do grande livro Quantum
Mechanics, de L. D. Landau e E. M. Lifshitz[1],
está o apêndice
denominado Mathematical Appendices, onde, de uma forma
unificada, são tratadas várias das funções especiais necessárias
ao longo do texto. Essa unificação é tornada possível pelo uso
do método de Laplace, uma genial técnica de resolução de
certas equações diferenciais ordinárias inventada pelo grande
matemático francês enquanto redigia seu Théorie analytique
des probabilités.
O método faz uso intenso da integração no plano complexo, o que
abre caminho para a utilização do método do ponto sela, para
o estudo do comportamento assintótico das soluções. É esta
combinação de técnicas que faz com que os métodos apresentados
no apêndice citado se destaquem pela elegância e concisão,
para não mencionar a potência.
O tratamento dado por Landau é talvez excessivamente breve, o que
torna o material do apêndice acessível para poucos. Este artigo
pretende, estendendo-se mais longamente sobre o tema, torná-lo
acessível a um número maior de estudantes.
Minha principal fonte foi o grande tratado de Edouard
Goursat[2], Cours d'Analyse Mathématique. Uma
exposição mais detalhada e ambiciosa, escrita com a graça de sempre,
encontra-se em Hille[3], abundante em notas históricas
e aplicações elegantes. Para o método do ponto sela minha
referência preferida é Courant, Hilbert[4]. Para saber
mais sobre Laplace e seu tratado de probabilidades veja o notável
Dictionary of Scientific Biography[5] ou, mais especificamente,
a biografia de Laplace por Gillispie[6], um dos editores
do dicionário citado.